Контрольная по математике Практикум по решению задач

Задача 11. Вычислить .

Решение. При интегрировании иррациональных выражений вида (здесь R — рациональная функция; - целые числа) подстановка , где к — наименьшее общее кратное знаменателей , позволяет избавиться от иррациональности. В данном случае Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6. Применяем подстановку

Тогда и

Возвращаясь к переменной х с учетом того, что , получим

Задача 12. Вычислить .

Решение. При вычислении интегралов вида , где R — рациональная функция, используется универсальная тригонометрическая подстановка , приводящая к интегралам от рациональных относительно t функций, при этом

, .

Из равенства находим .

В данном случае получаем

Сделаем замену

Тогда

Возвращаясь к переменной х, получим

Задача 13. Вычислить .

Решение. Интегралы вида , , , где R — рациональная функция, приводятся к интегралам вида , если выполнить замену переменной:

- для первого интеграла (или );

- для второго интеграла (или );

- для третьего интеграла (или ).

Данный интеграл вычисляем заменой .

Тогда .

Получаем

.

,

тогда

Возвращаясь к старой переменной при , получаем

Задача 14. Вычислить

Решение. Для вычисления интеграла разложим подынтегральную функцию — дробь — в сумму простейших дробей. Множителю соответствует сумма двух простейших дробей , а множителю - дробь .

Тогда подынтегральная функция будет иметь вид

Правую часть равенства приведем к общему знаменателю (он должен быть равен знаменателю левой части равенства) и приравняем числители получившихся дробей:

.

Найдем А, В, С. Сначала применяем метод частных значений. Равенство должно выполняться при любых х, поэтому подставим вместо х «хорошие» числовые значения (обращающие часть скобок в 0). Здесь это 1 и -2. При получим и . При равенство принимает вид , а . В найдем методом неопределенных коэффициентов, согласно которому приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства. Например, при . Тогда .

Итак,

Вычисляем интеграл