Контрольная по математике Практикум по решению задач

Задача 18. Найти работу вектор-силы на криволинейном пути

Решение. Работа А, совершаемая вектор-силой

на криволинейном пути L, есть криволинейный интеграл II рода (формула (32)), т. е.

Кривая задана параметрически, поэтому применяем формулу (31):

где

Тогда

Задача 19. Вычислить , если D ограничена линиями

Решение. На рисунке построена область D — криволинейный треугольник.

1 способ. Двойной интеграл можно вычислить по формуле (33):

Здесь

поэтому

2 способ. Можно использовать формулу (34):

Тогда

Значит,

Задача 20. Вычислить ,

где D — правая половина кольца (см. рисунок).

Решение. Будем вычислять интеграл в полярных координатах по формуле (35):

Здесь .

Так как (формулы перехода к полярным координатам), то

Тогда уравнения окружностей и принимают вид

Следовательно,