Контрольная по математике Практикум по решению задач

Пример Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

Построим ограничивающие линии.

- парабола с вершиной в точке , симметрична относительно оси OY;

- парабола с вершиной в точке , симметрична относительно оси OX.

- прямая, параллельная оси OX;

- ось OY.

Рис. 13.

При вращении криволинейной трапеции (рис.13) вокруг оси OX образуется тело вращения.

По условию фигура вращается вокруг оси OX. Тогда искомый объём равен разности двух объёмов: объёма Vx1, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями и объёма Vx2, полученного от вращения вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями Т.о.

Вычислим .

Для Vx1: , при этом . Тогда

(ед3.)

Вычислим .

Для Vx2: ,т. е Тогда (ед3.)

Т.о. (ед3.)

Решение некоторых физических

задач с помощью определённого интеграла

Пусть материальная точка перемещается вдоль оси ох под действием переменной силы , направленной параллельно оси. Тогда работа, произведённая силой F при перемещении точки из положения в положение вычисляется по формуле:

.

Пример 5.1. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м

По закону Гука упругая сила F, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т.е. , где k — коэффициент пропорциональности. По условию сила Н растягивает пружину на м, т.е. . Тогда .

Вычислим работу:

12,5 (Дж)

Определённый интеграл применяют для вычисления пути S прямолинейного движения.

Путь S, пройденный материальной точкой за промежуток времени от до , равен определённому интегралу от скорости :

Пример 5.2. Вычислить путь, пройденный точкой за 4 секунды от начала движения, если скорость точки (м/с).

По условию: .

Тогда (м/с).

10. Два тела начали двигаться по прямой в один и тот же момент из одной точки в одном направлении. одно тело двигалось со скоростью (м/с), другое со скоростью (м/с). определить расстояние между телами через 2 секунды.

Ответ: 8м.