Контрольная по математике Практикум по решению задач

Пример 7. Вычислить или установить сходимость интеграл . По виду определяем, что это несобственный интеграл 1-го рода по полубесконечному промежутку.

Задачу решаем непосредственным интегрированием на основании определения. Выписываем следующую последовательность действий согласно формуле (15). Находим первообразную и предел

- предел не существует, следовательно несобственный интеграл расходится.

Пример 8. Вычислить или установить сходимость несобственного интеграла

Согласно (15)

- интеграл сходится

Часто в задаче ставится вопрос о сходимости несобственного интеграла без поиска его первообразной. В этом случае используют следующие теоремы (признаки сравнния):

Пример 9: Исследовать условия сходимости несобственного интеграла с помощью определения (15) для разных k:

==

, при k>1

Полученные результаты позволяют определить , что несобственный интеграл сходится при k>1.

Пример 10: Исследовать на сходимость несобственный интеграл С помощью теоремы выбираем функцию сравнения (16) по следующему алгоритму

откуда k=>1 и интеграл сходится , следовательно сходится и заданный интеграл.

Предельный признак сравнения.

Теорема 7. Если при и существует конечный предел отношения то интегралы и сходятся или расходятся

Площадь плоских фигур в декартовой системе координат.

промежуткам на которых функция знакопостоянна –положительная или отрицательная.

Пример 12. Найти площадь области ограниченной эллипсом .

Решение: Фигура (рис.2) симметрична относительно осей координат , поэтому достаточно найти , интегрируя по промежутку [0,a] функцию, график которой лежит в первой четверти и определяет верхнюю границу области . Запишем уравнение верхней границы области - эллипса для первого квадранта: , xЄ [0,a], а интеграл вычисляем с помощью замены переменной

===== Ответ: Площадь эллипса

Если в задаче требуется — найти площадь области ограниченной графиками функций, то промежуток интегрирования определяется дополнительными условиями, например, точками пересечения графиков. В этом случае формула для вычисления площади приобретает вид (рис. 3).

,

где S — площадь криволинейной трапеции,

ограниченной графиками функций y=f1(x) и y=f2(x), f2(x) ³f1(x), прямыми x=a и x=b,( a<b).

Пример 13. Найти площадь фигуры ограниченной линиями и .

На рис. 4 представлена фигура , ограниченная параболой и прямой, площадь которой требуется найти. Найдем точки пересечения параболы и прямой для этого решим следующую систему уравнений:

Þ

При решении квадратного уравнения системы

x2+x+2=0, получаем два корня х1=-2, х2=1 , которые являются координатами концов промежутка интегрирования для разности функций

f1(x)= x2+1, f2(x)=3-x (т.к. прямая лежит выше параболы в рассматриваемой области). В результате вычислений получаем : площадь области S=25/6. (Выполнить вычисления самостоятельно)