Контрольная по математике Практикум по решению задач

Площадь фигуры заданной в параметрической форме.

В этом случае верхняя граница криволинейной трапеции представляет собой линию заданную параметрическими уравнениями {x = x(t), y = y(t), a £ t £ b } , а площадь находится по формуле

(15)

Формула (15) получается из (14) заменой переменной.

Пример14: Найти площадь области ограниченной линией — графиком функции заданной в параметрической форме : x=a cos(t) , y=b sin(t), 0 £ t £ π/2 ( первая четверть эллипса) .Подставляем данные в формулу и результат сравниваем с ранее рассмотренной задачей.

Площадь области заданной в полярной системе координат.

В этом случае речь идет о площади криволинейного сектора

– площадь области ограниченной кривой ρ = ρ(φ) и двумя полярными радиусами , образующими с полярной осью углы a и b , a £ φ £ b . Здесь r - длина полярного радиуса, величина всегда положительная ( r≥0), соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j - угол наклона этого полярного радиуса к полярной оси. Формула для вычисления площади криволинейного сектора находится по правилу построения интегральной суммы, т.е. как предел суммы площадей ∆Si секторов с углами при вершине Δφi, образовавшихся в результате разбиения сектора лучами, проведенными из вершины. При этом каждый из образовавшихся секторов будет иметь площадь ∆Si= 1/2 ρ(φi) Δφi ( как равнобедренный треугольник с боковыми сторонами ρ(φi) и углом при вершине Δφi) В результате получаем

(16)

Пример 14: Найти площадь области ограниченной линиями ρ = ρ(φ)= aebφ , φ =0, φ = π (0 £ φ £π ) , ответ S= a2 /4b [e2bπ - 1] .

Пример 15: Найти площадь области ограниченной линиями ρ1 = ρ(φ)=asin φ, ρ2 = ρ(φ)=acos φ.

Изобразить область на плоскости и указать точку пересечения линий φ0=π/4. Теперь площадь области

=

5.4. Формула вычисления длины дуги кривой.

Пусть плоская кривая АВ задана уравнением y= f(x), где f(x) непрерывная на отрезке

[a, b] функция. Для нахождения длины кривой разобьем ее на n маленьких кусочков ∆Li дуги. При большом числе разбиения дугу∆Li можно спрямить кусочком прямой (хорды) близкой по размеру.

Dyi y DL y = f(x)

 

a Dxi b x

Тогда кривую АВ можно заменить ломанной кривой, построенной из прямых кусочков ∆Li.и вписанной в эту кривую.

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как . Тогда длина дуги равна L

Из геометрических соображений:

Тогда можно показать, что

(17)

Если уравнение плоской кривой задано параметрически, {x=φ(t), y=ψ(t), α≤t≤β} то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции , получаем

, (18)

Если задана пространственная кривая, и {х = j(t), у = y(t) и z = Z(t)}, то

(19)

Если кривая задана в полярных координатах r = f( j) , (α≤φ≤β) то

, (20)

Для вывода формулы (20) надо вспомнить , как перевести уравнение кривой заданной в полярной системе координат в уравнение в параметрической форме и воспользоваться формулой (18).

Пример 16: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = a2.

1 способ. Выразим из уравнения переменную у: - уравнение верхней половины окружности.

Найдем производную

и по формуле (17) длину четверти окружности

Тогда L = 2 pa. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение окружности в полярной системе координат:, x=ρcosφ, y=ρsinφ , то получим: ρ2cos2 j + ρ2sin2 j = a2, т.е. функция

r = f( j) = a=const является уравнением окружности в полярной системе координат и производная этой функции тогда