Контрольная по математике Практикум по решению задач

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл от точки до точки : 1) по прямой линии , 2) по дуге параболы , 3) по дуге эллипса .

Рис. 9

▲ Сделаем чертеж (рис. 9).

1)

.

2)

3)

. ▼

Пример 4. Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S, образованную плоскостью и частью конуса . Проверить результат с помощью формулы Остроградского -Гаусса.

▲ Поверхность S состоит из двух поверхностей: - части конуса и - части плоскости . Поэтому поток через поверхность S равен сумме потоков вектора a через составляющие поверхности:

,

где и - внешние единичные нормали к конусу и плоскости соответственно

Рис. 10.

Вычислим поток через поверхность , уравнение которой в явном виде (так как ). Исключая z из уравнений и , получим уравнение границы области G (проекции поверхности на плоскость ): . Вектор внешней нормали к поверхности

.

Здесь в выражении для нормали выбран знак « -», так как угол между осью

и нормалью n1 - тупой, и, следовательно, .

Найдем скалярное произведение векторов

.

Учитывая, что на поверхности

,

по формуле (9.16) получаем . Область G есть круг . Поэтому переходим к полярным координатам

Вектор внешней нормали к поверхности .

Здесь в выражении для нормали выбран знак «+», так как . Тогда имеем

; ;

.

Таким образом, поток векторного поля через поверхность равен .

Найдем решение этой задачи с помощью формулы Остроградского -Гаусса (9.20). Дивергенция поля равна

,

а поток (в цилиндрической системе координат)

.

Следовательно, как и в первом случае, . ▼

Пример 5. Вычислить циркуляцию векторного поля по контуру l, образованному пересечением поверхностей и . Проверить результат с помощью формулы Стокса.

▲ Пересечением указанных поверхностей (см. пример 4) является окружность . Направление обхода контура выбираем так, чтобы ограниченная им область G (круг) оставалась слева. Запишем параметрические уравнения контура (окружности) . По формулам (9.20) и (9.15) получаем

.

Применим теперь формулу Стокса (9.21). При возрастании параметра t от 0 до 2 p движение по окружности происходит против часовой стрелки относительно единичного вектора . Ротор данного векторного поля находим по формуле (9.18)

.

Скалярное произведение вектора на вектор

.

Поэтому искомая циркуляция (9.21)

,

что совпадает со значением циркуляции, полученным непосредственным вычислением.