Контрольная по математике Практикум по решению задач

Пример 3. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена линиями:

Первое решение примера 3. Изобразим область D на плоскости (рис. 3).

Рис. 3.

Тогда и, если x меняется от 0 до 1, то , а если же если x меняется от 1 до 2, то и по формуле (4), имеем

или

.

Переменные x,y в двойном интеграле равноправны, то есть, если область D ограничена снизу и сверху горизонтальными прямыми y=c, y=d, а слева и справа - кривыми , причем непрерывны и на промежутке [c,d] (Рис.4), то

(5)

Рис. 4.

Такая область называется правильной в направлении оси Ox.

Второе решение примера 3 . В этот раз воспользуемся формулой (5), тогда

.

Рассмотрим ещё один пример применения формул (3) и (5) в зависимости от вида области D.