Контрольная по математике Практикум по решению задач

Пример 4. Вычислить двойной интеграл , когда область интегрирования D ограничена линиями y=2, y=x, y=1/x.

Решение. Построим область интегрирования D (рис.5).

Рис. 5.

Первое решение примера 4. По формуле (4) получаем

или

Второе решение примера 4. Если же для вычисления данного интеграла применить формулу (5), то

Теорема 2 (о замене переменных в двойном интеграле).

Пусть выполняются условия:

1) функции x=x(u,v) и y=y(u,v) таковы, что каждой точке с координатами (x, y) из области D соответствует единственная точка с координатами (u, v) из области D1 и наоборот;

2) функции x=x(u,v) и y=y(u,v) имеют непрерывные частные производные по переменным u и v в области D1;

3) функция z=f(x,y) определена и интегрируема в области D.

Тогда справедлива формула:

, (6)

где

- якобиан перехода от декартовых координат к криволинейным координатам.

Частным случаем криволинейных координат для двойного интеграла являются полярные координаты:

,

для которых якобиан равен и формула (6) примет вид:

(7)