Контрольная по математике Практикум по решению задач

Пример 5. Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл: по области D, заданной ограничениями .

Решение. Положим

и применим формулу (7). Так как , то

.

Областью интегрирования исходного интеграла является четверть круга радиуса R=1 с центром в начале координат (рис. 6). Следовательно, в области D1 переменная изменяется от 0 до 1 и . Таким образом, имеем:

Рис. 6.

.

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линией, задаваемой уравнением: .

Решение. Площадь области S будет равна , где область D ограничена линией: . Отметим, что при замене переменной x (y) на — x (-y) уравнение линии не меняется, следовательно, область D будет симметричной относительно координатных осей.

Перейдем к полярным координатам:

.

Подставив x,y в уравнение линии, получаем, что или . Таким образом, и , , тогда . Искомая область D представлена на рисунке 7.

Рис. 7.

Таким образом, .