Контрольная по математике Практикум по решению задач

Задачи

Задача 1 (МЭСИ). На отрезках АВ и АС как на диаметрах построены полуокружности. В общую часть двух образовавшихся полукругов вписана окружность максимального радиуса. Найдите радиус этой окружности, если АВ=4, АС = 2, ВАС = 120°.

Решение.

Пусть и — середины соответственно отрезков АВ и АС (рис. 1). Тогда . Пусть r — радиус окружности, о которой говорится в условии задачи, О — ее центр. Для точек ,, имеем , или 1 - r + 2 .
Отсюда . Очевидно, знак равенства достигается лишь в том случае, когда точка O принадлежит отрезку .

Ответ:

Задача 2 (МАИ). Найдите периметр треугольника наибольшей площади, образованного большим основанием и продолжением боковых сторон трапеции, если известно, что длина верхнего основания трапеции в два раза меньше длины ее нижнего основания, а диагонали равны 5 и 6.

Решение.

Пусть ВС и AD —основания трапеции (рис. 2), ВС = AD. Выходит, что ВС — средняя линия треугольника AED. Тогда

Следовательно, площадь треугольника AED достигает максимального значения при максимальной площади трапеции ABCD. Очевидно, , т. е. площадь данной трапеции максимальна, если ее диагонали перпендикулярны. Итак, искомый периметр — это периметр треугольника с перпендикулярными медианами:

Ответ: