Контрольная по математике Практикум по решению задач

Задача 3 (МАИ). В треугольнике ABC биссектриса, проведенная из вершины А, имеет длину 2, и АВ= 2АС. На стороне АВ взята точка М, а на стороне АС — точка N так, что BM=AN. Найдите наименьшее возможное расстояние от середины отрезка MN до вершины А.

Решение.

Пусть Q — середина отрезка MN, К — точка пересечения биссектрисы угла ВАС и ВС. Спроектируем точки М, N, Q и В на биссектрису угла ВАС (рис.3).
Тогда .

Пусть AC=m, AB = 2m, . Тогда

Отсюда

Следовательно, искомое расстояние принимает наименьшее значение, когда середина Q отрезка MN лежит на биссектрисе.

Для площади треугольника ABC имеем

Или

Отсюда

Ответ: 1,5

Задача 4 (МИСиС).

В параболу вписан четырехугольник ABCD наибольшей площади с диагоналями АС и BD. Найдите координаты вершины С, если А(-3; -4), В(-2; -1), D(1;-4) .

Решение.

Так как точки А, В, D лежат на параболе, то их координаты удовлетворяют ее уравнению: откуда a= -1, b= -2, c= -1.

Итак, уравнение заданной параболы найдено: . В условии указано, что АС — диагональ четырехугольника ABCD, значит, точка С лежит на дуге BD параболы (рис. 4).

Для решения задачи достаточно найти координаты точки С, при которых площадь треугольника DBC максимальна, что, в свою очередь, равносильно поиску на дуге BD точки, максимально удаленной от прямой BD. Пусть l — касательная к параболе, параллельная BD. В силу характера выпуклости квадратичной функции все точки параболы лежат в одной полуплоскости относительно прямой l. Следовательно, точкой, максимально удаленной от прямой BD, будет точка касания.

Так как прямая BD невертикальная, то ее уравнение имеет вид y=kx+d. Зная координаты точек В и D, легко установить, что k = - 1. Значит, угловой коэффициент касательной l равен -1, т. е. производная квадратичной функции, задающей параболу, в точке касания равна -1. Имеем -2(х0 + 1)= —1, где х0—абсцисса точки касания; отсюда х0= -.

Ответ: