Контрольная по математике Практикум по решению задач

Задача 7 (МАИ).

В треугольной пирамиде SABC все ребра имеют одинаковую длину, равную l . На ребре SA взята точка М так, что SM =, на ребре SB взята точка N, а на плоскости ABC взята точка Р. Найдите наименьшую величину суммы длин отрезков MN и NP.

Решение.

Длина отрезка NP минимальна, если Р — проекция точки N на плоскость ABC. Очевидно, что Р принадлежит медиане BE правильного треугольника ABC (рис. 8). Теперь нужно найти кратчайшее расстояние от данной точки М до прямой BE по поверхности двугранного угла, образованного плоскостями ABS и BSE. Это все равно, что найти расстояние от точки до прямой на плоской развертке этого двугранного угла.

Рассмотрим такую развертку. Для этого в плоскости SBE построим треугольник SA1В, равный треугольнику ASB (рис. 9). На стороне SA1 отметим точку M1, в которую при раз- разворачивании двугранного угла пере- переходит точка М, так что SM1=. Как известно, кратчайшее расстояние от точки до прямой есть перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную прямую. Поэтому проведем М1P1 BE. Очевидно, что сумма
MN+NP=M1N+NP минимальна тогда и только тогда, когда Р=Р1 и N = Q. Осталось выяснить, чему равна длина отрезка М1Р1.

Проведем SK M1P1. Пусть KSB =SBE = α. Высота SO пирамиды равна . Тогда M1P1 = M1K+SO=.

Выразив sin α и cos α из треугольников SBE и SBO, получим ответ:

Ответ:

Задача 8. (ЕГЭ-2007)

Отрезок АВ — диаметр сферы. Точки С и D лежат на сфере так, что объем пирамиды ABCD наибольший. Найдите этот объем, если радиус сферы равен 1 см.

Решение.

Чтобы объем пирамиды был наибольший, должна быть наибольшей высота этой пирамиды и площадь основания, так как

Так как A и B принадлежат диаметру сферу, то опирается на диаметр, а значит
=900 => - прямоугольный.

Наибольшую площадь из всех прямоугольных треугольников имеет равнобедренный прямоугольный треугольник; т.к. АВ- const, то высота СН должна быть наибольшей, а значит СН=R и - прямоугольный равнобедренный.

Аналогично рассуждаем для , т.е. получаем, что DH=R.

=

Ответ: