Контрольная по математике Практикум по решению задач

Практикум по решению задач

Дифференцируемые функции

1. Найти производную функции.

Сначала преобразуем данную функцию:

2. Найти производную функции .

3. Найти производную функции

4. Найти производную функции

5. Найти производную функции

6. Найти предел .

Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex; ;

7. Найти предел .

; ; .

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

8. Найти предел .

; ;

; ;

; ;

Следует отметить, что правило Лопиталя — всего лишь один из способов вычиления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой — либо другой метод (замена переменных, домножение и др.).

Найти предел .

; ; — опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз.

; ; — применяем правило Лопиталя еще раз.

; ; ;

Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)>0 вблизи точки а при х®а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x).

10. Найти предел .

Здесь y = xx, lny = xlnx.

Тогда . Следовательно

11. Найти предел .

; — получили неопределенность. Применяем правило еще раз. ; ;