Контрольная по математике Практикум по решению задач

Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (–¥;–1) È (–1; 1) È (1; ¥).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = –1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (–¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = –1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = –; x = ; x = –1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < –, y¢¢ < 0, кривая выпуклая;

– < x < –1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая;

–1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая;

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая;

1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая;

< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая;

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

–¥ < x < –, y¢ > 0, функция возрастает

– < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

–1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

Видно, что точка х = – является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно –3/2 и 3/2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции:

Интеграл вида , если

функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

Функция может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

23.

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

Интеграл вида ,

если функция R является нечетной относительно sinx.

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда

24.

Интеграл вида , если

функция R четная относительно sinx и cosx.

Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка t = tgx.

Тогда

25.