Контрольная по математике Практикум по решению задач

Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

Если все — таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:

- интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон — французский математик (1781-1840))

- интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель — французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)

- интегральный логарифм

- приводится к интегральному логарифму

- интегральный синус

- интегральный косинус

40.

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

41. , с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = p/2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

42. - не существует.

Несобственный интеграл расходится.

43. - интеграл сходится.

44. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле: (ед2)

45. Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

1 способ. Выразим из уравнения переменную у.

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2j + r2sin2j = r2, т.е. функция r = f(j) = r, тогда

Практикум по решению задач

1. Найти и изобразить область определения функций:

а) ; б) .

Ñ а) функция определена, если x и y удовлетворяют системе неравенств (которую последовательно решаем) Следовательно, область определения множество точек .Область определения изображена на рис. 1.

б) функция определена, если x и y удовлетворяют системе неравенств

Область определения получается пересечением множеств: - множество точек «под» параболой , включая саму параболу; - внутренность круга радиуса 1 с центром в точке , - вся плоскость Oxy, исключая точку .

Итак, (рис. 2).

2. Вычислить пределы:а) , б)

Ñ а) Пусть точка M(x,y) из окрестности точки M0(0,0) стремится к точке М0 по прямой y=kx ( проходящей через точки М0 и М). Тогда из следует и . Пределы получаются разными при различных «k» и не существует числа A, к которому значения становились бы сколь угодно близки, как только точка M(x,y) оказывается в достаточной близости от точки M0(0,0). Предел данной функции при M®M0(0,0) не существует.

б) =½находим предел вдоль луча y=kx (k>0, ) при x®¥½=½применим правило Лопиталя два раза½=.

– предел существует и равен нулю. #

3. Найти точки разрыва функций: а) б)

Ñ а) Область существования функции есть множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют условию или - внутренность круга радиуса с центром в точке O (0;0). Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. , отсюда или . Таким образом, функция z(x,y) разрывна на окружности .

б) Функция u(x,y,z) не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Поэтому в пространстве Oxyz точки разрыва функции образуют поверхность – конус. #

4. Найти частные производные первого и второго порядков от функции .

Ñ Считая последовательно постоянной “y”, затем “x”, и применяя правило дифференцирования сложной функции, получим: ,

. Дифференцируя вторично, получим:

,

,

,

.#