Задачи по сопротивлению материалов
В сопротивлении материалов рассматриваются вопросы расчета отдельных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. В настоящем разделе собраны типичные задачи по различным видам простого и сложного сопротивления отдельного бруса.
Изложены основные сведения по всем вопросам сопротивления материалов. Расчетные формулы даны без выводов, но с необходимыми пояснениями, облегчающими их практическое применение.
Задачам по каждой теме предшествует иллюстративное решение типовых задач с методическими указаниями. Все остальные задачи снабжены ответами.
Растяжение, сжатие
В этой главе, в основном, будет рассматриваться брус. Брус — это тело, у которого два размера малы по сравнению с третьим. Брус с прямолинейной осью называют стержнем. Ось бруса — это линия, которая соединяет центры тяжести его поперечных сечений.
Под действием приложенных сил тело деформируется. Изменение линейных размеров тела называется линейной деформацией, а изменение угловых размеров — угловой деформацией. Удлинение — это увеличение линейных размеров тела, а укорочение — уменьшение линейных размеров тела.
Пусть прямой брус длиной l заделан одним концом, а на другом
конце приложена внешняя сосредоточенная сила F. Под действием этой силы брус удлинится
на величину 
, которая называется полным (абсолютным) удлинением, тогда
(1.1)
где 
–
относительная продольная деформация.
Перемещение точки — расстояние между первоначальным положением точки (до приложения внешних нагрузок) и ее положением после деформации, взятое в определенном направлении, например, вдоль оси стержня.
Центральное растяжение (сжатие) — это такой случай напряженного состояния, когда в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы N.
На основании гипотезы плоских сечений все продольные волокна стержня испытывают
одинаковые удлинения или укорочения. Следовательно, при растяжении и сжатии нормальные
напряжения 
распределены равномерно по поперечному сечению стержня,
поэтому
(1.2)
где А –площадь поперечного сечения стержня.
Зависимость между нормальным напряжением и относительной деформацией
в пределах упругости при растяжении и сжатии имеет вид (закон Гука):
(1.3)
где Е — модуль продольной упругости (модуль Юнга).
Пользуясь законом Гука (1.3), можно вычислить
абсолютное удлинение стержня при
действии нормальной силы N (рис. 1.1, а):
(1.4)
при учете только действия собственного веса стержня (рис. 1.1, б):
(1.5)
где 
–
объемный вес материала стержня.
Рис. 1.1
Если по длине стержня l нормальная сила N(x)
и площадь сечения A(x) переменны и изменяются по какому-либо непрерывному закону,
то удлинение определяется по формуле
(1.6)
Пример расчёта вала (задача № 4)
Стальной валик жёстко защемлен на левом конце. На валик действуют две пары сил 2М и М.
Требуется:
Построить эпюру крутящих моментов.
Определить моменты сопротивления при кручении для сечений I, II и III и по наиболее опасному сечению найти допускаемую величину момента М.
Построить эпюры распределения касательных напряжений в сечениях I, II, III, отметив на сечениях опасные точки.
Построить эпюру углов закручивания.
Модуль упругости при сдвиге для материала валика G = 8×104МПа.
Исходные данные: а = 0.6м, с = 1.1м, D = 100мм, d/D = 0.8, Rcp = 110МПа.
Решение
п.1. Построение эпюры крутящих моментов
Разобьём валик на два расчётных участка АВ и ВД и применим метод сечений для каждого расчётного участка валика.
Рассматриваем участок ВД (сечение I-I). Отбрасываем левую часть валика и рассматриваем равновесие правой части. Уравнение равновесия для участка ВД:
Σmz = 0. М + Мкр = 0, Мкр = - М = const.
Крутящий момент на участке ВД постоянен по длине участка и закручивает валик против хода часовой стрелки.
Рассматриваем участок АВ (сечение II-II). Уравнение равновесия
Мкр — 2М + М = 0, Мкр = М = const.
Крутящий момент на участке АВ также постоянен по длине участка и закручивает валик по ходу часовой стрелки.
По результатам расчёта строим эпюру крутящих моментов.
п.2. Определение моментов сопротивления сечения кручению
Сечение I, Wк = 
, где k1 = 0.208 для квадратного сечения, h=b=0,8D
Wк = 0.208(0.8×10)3 = 106.5см3 =106,5×10-6 м3.
Сечение II. 
= 
196 см3=196×10-6 м3.
Сечение III 
, 
,
115,7см3=115,7×10-6 м3
Определение допускаемой величины момента М
Определение максимальных касательных напряжений в сечениях валика.
В сечении I 
В сечении II. 
В сечении III. 
Сравнивая величины вычисленных напряжений, отмечаем, что наибольшие касательные напряжения возникают в сечении I.
По условию
прочности вала 
определяем величину допустимого момента 
, 
