Расчет на устойчивость систем с одной или двумя степенями свободы при помощи уравнений равновесия
Задача 6.3.1. Два бесконечно жестких стержня связаны между собой шарниром (рис. 6.3.1) и оперты на упругие пружины, жесткость которых равна k. Определить критическое значение сжимающей силы.
Решение. Решим поставленную задачу статическим методом при помощи
уравнений равновесия для отклоненного состояния. Для этого рассмотрим систему,
показанную на рис. 6.3.1 в отклоненном состоянии, т.е. после потери устойчивости.
В отклоненном состоянии на упругих опорах возникнут опорные реакции Ra = ka1 и
Rb = ka2, где k — жесткость упругих связей (пружин), равная силе, вызывающей единицу
деформации упругой связи (пружины). Будем считать, что k — известная величина.
Составим условие равновесия моментов относительно точки О:
,
а после подстановки в полученное выражение значений опорных реакций Ra и Rb получим
. (6.3.1)
Составим также условие равенства
момента нулю в шарнире А/ в отклоненном состоянии:
, а после подстановки в полученное выражение значения
опорной реакции Rb получим
. (6.3.2)
Таким образом, имеем систему двух уравнений (6.3.1), (6.3.2) с двумя неизвестными геометрическими параметрами а1 и а2. Полученная система содержит два однородных уравнения и, следовательно, определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных а1 и а2, должен быть равен нулю:
Раскрывая определитель, получим уравнение второй степени
решения которого имеют вид: 
откуда находим два значения критической силы: Fcr,1 =
0,38kl и Fcr,2 = 2,63kl. Окончательно принимаем Fcr = 0,38kl как наименьшую критическую
силу, вызывающую потерю устойчивости.
Задача 6.3.2. Определить значения критических сил для абсолютно жесткого стержня, показанного на рис. 6.3.2. Жесткости верхней и нижней упругих связей (пружин) равны k.
Ответ: Fcr,1 = kl/2;
Fcr,2 =
.
Задача 6.3.3. Определить критическую силу для абсолютно жесткого стержня, показанного на рис. 6.3.3.
Ответ: Fcr = kl.
Задача 3.1.17. Определить размеры δ и h чеки (рис. 3.1.24), служащей для закрепления анкера В диаметром d = 40 мм в гнезде, а также длину x хвоста анкера, если коэффициент условий работы соединения γс = 1, а расчетные сопротивления равны: на растяжение (для материала анкера) Ru = 160 МПа, на срез Rbs = 100 МПа, на смятие Rbр = 320 МПа.
У к а з а н и я
1. Сила F определяется из условия прочности на растяжение анкера.
2. Площадь смятия равна δd , площадь среза 2h = 2xd.
Ответ: F = 137 кН; h = 7 см, x = 2 см.
Задача 3.1.18. Цилиндр диаметром d = 12 см (рис. 3.1.25) соединяется
с деталью ВВ при помощи четырех приливов, каждый из которых имеет высоту δ
= 2 мм и длину b = 5 мм. Определить напряжения среза τср и смятия σсм
в этом соединении, если сдвигающее усилие F = 240 кН.
Ответ: σсм = 320 МПа;
τср = 128 МПа.
Задача 3.1.19. Две детали соединены шлицевым соединением (рис. 3.1.26). Определить разрушающую величину момента, передаваемого с вала 1 на деталь 2, если предел прочности на срез материала Rsn = 100 МПа.
Ответ: Тразр = 486 Н·м.
