Упругий удар
Под ударом понимают резкое изменение скорости соприкасающихся тел в течение малого отрезка времени. Приближенная («техническая») теория удара базируется на двух основных гипотезах:
а) кинетическая энергия тела, производящего удар, полностью переходит в потенциальную энергию тела, по которому наносится удар (пренебрегают тепловой энергией и др.);
б) распределение напряжений и деформаций по объему тела при ударе принимается таким же, как и при статическом нагружении (пренебрегают волновыми процессами и др.).
Общий прием расчета напряжений и перемещений при ударе состоит в том, что, принимая гипотезу б), проводят статический расчет, а ударное воздействие учитывают динамическим коэффициентом kd , который рассчитывают на основе гипотезы а). Таким образом, динамический коэффициент представляет собой по существу отношение динамических величин (напряжений, перемещений) к соответствующим статическим, т.е.
или 
(7.2.1)
При ударе, вызванном падением некоторого груза с высоты Н на элемент конструкции, величина динамического коэффициента рассчитывается по формуле
(7.2.2) Коэффициент полезного действия зубчатого механизма
где Δst — статическое перемещение сечения элемента конструкции, вызванное силой веса падающего груза.
Так, при продольном ударе, например, от падения груза на конец призматического стержня (рис. 7.2.1)
При изгибном ударе, например, показанном на рис. 7.2.2, а, статический прогиб будет
а для случая, показанного на рис. 7.2.2, б, имеем
Можно показать, что при скручивающем ударе (рис. 7.2.3) получим
Условие прочности при ударе имеет вид
σd, max = σst, max kd
Radm (7.2.3)
или
τd, max = τst, max kdτadm. (7.2.4)
Формула (7.2.2) используется в случаях, когда масса упругого тела, испытывающего удар, мала и ею в расчете пренебрегают.
Статически неопределимые задачи на кручение
Как известно, статически неопределимыми называют задачи, в которых число неизвестных опорных реакций или число внутренних усилий превышает число возможных уравнений статики. Один из методов решения статически неопределимых задач сводится к следующему:
а) составляются все возможные в данной задаче уравнения статики;
б) представляется картина деформации, происходящей в данной конструкции, и записываются деформационные уравнения, число которых должно быть равно степени статической неопределимости задачи;
в) решается совместная система уравнений статики и деформационных уравнений.
Рассмотрим решение статически неопределимой задачи на кручение.
Задача 3.2.22. Построить эпюру крутящих моментов для вала постоянного
по длине поперечного сечения, жестко защемленного обоими торцами и нагруженного
скручивающим сосредоточенным моментом М (рис. 3.2.12), расположенным на расстоянии
а от левого закрепления.
Решение. Так как вал защемлен с двух торцов, то
в обоих защемлениях возникнут реактивные опорные моменты МА и МВ. Для их определения
используем вначале уравнения статики. В данном случае можно составить только одно
уравнение равновесия: 
, или
МА+ МВ + М = 0. (3.2.15)
Уравнение содержит две неизвестные величины: МА и МВ. Следовательно, данная задача является один раз статически неопределимой.
Рассматриваем картину деформации вала (рис. 3.2.12, б). Видно, что взаимный угол закручивания правого торца относительно левого равен нулю. Угол поворота правого торца относительно левого может быть представлен в виде суммы углов закручивания отдельных участков вала.
Согласно
формуле (3.2.5), углы закручивания по участкам определятся следующим образом:
для участка длиной а 
для участка длиной b 
где Ta и Tb — крутящие моменты на соответствующих участках
вала. Суммарный угол закручивания по условию закрепления концов равен нулю, т.е.
(3.2.16)
Это и есть деформационное уравнение задачи. Преобразуем его. Применяя метод сечений, выразим крутящие моменты Та и Тb:
Та = МА , Тb = МВ.
Подставив эти значения моментов в уравнение (3.2.16), и сократив полученное уравнение на постоянный множитель GIp, получим
Маּа — Мbּb = 0. (3.2.17)
Решая совместно уравнения (3.2.15) и (3.2.17), найдем
Знак «–» указывает на то, что истинное направление реактивных моментов противоположно выбранному первоначально. Вычислив реактивные моменты, строим эпюру крутящих моментов по известным правилам (рис. 3.2.12, в).
 |
Можно отметить следующую особенность эпюр крутящих моментов в статически неопределимых валах с GIp = const: суммарная площадь эпюры крутящих моментов равна нулю, что по существу предопределено уравнением (3.2.17). Если вал ступенчатый, то нулю должна быть равна сумма площадей эпюры крутящих моментов, отнесенных к моментам инерции сечений на соответствующих участках.
