На двух двутавровых балках № 12 посередине установлен двигатель весом Q = 7 кН (рис. 7.4.1). Неуравновешенные массы двигателя условно заменены вращающимся со скоростью n = 550 об/мин
грузом Q2 = 120 Н, радиус вращения которого R = 0,21 м.
Проверить прочность балок, приняв их длину l = 1,6 м, модуль упругости материала балок Е = 2·105 МПа, расчетное сопротивление стали изгибу, растяжению по пределу текучести Ry = 220 МПа.
Коэффициент условий работы балок gс = 1 (табл.1.1).
Решение. 1. Выписываем из сортамента (таблица III, a приложения) геометрические характеристики поперечного сечения двутавровой балки и устанавливаем вес Q1 одной балки: момент инерции Iz = 350 см4, момент сопротивления Wz = 58,4 см3, масса 1 м двутавра № 12 q = 11,5 кг/м. Масса одной балки m1 = ql = 11,5·1,6 = 18,4 кг; вес Q1 одной балки
Q1 = mg » 184 H.
В дальнейшем расчет проводится для одной балки (из двух).
2. Рассчитаем собственную круговую частоту колебаний w системы, для чего воспользуемся формулой (7.3.5)
где yst — прогиб посередине балки, вызванный весом Q /2 и весом балки Q1.
Следует учесть, что при расчете собственной частоты балки, как системы с одной степенью свободы, в расчет вводится приведенная масса
m1,pr = am1 .
Для балки на двух опорах коэффициент привидения a = 17/35 » 0,5.
При расчете yst можно использовать известную в теории изгиба балок формулу
(7.4.6)
которая в данной задаче принимает вид
Таким образом, частота собственных колебаний системы равна
Задача 4.2.16. Определить минимальную ширину b деревянной балки прямоугольного поперечного сечения, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q = 5 кН. Принять h = 2b, l = 4 м, материал балки — сосна с RИ = 14 МПа, Rск = 1,8 МПа (рис. 4.2.6).
Ответ: b = 0,1 м.
4.3. Эпюры главных напряжений при изгибе
В каждой точке напряженного
тела существуют три взаимно перпендикулярные площадки, на которых касательные
напряжения равны нулю. Такие площадки называются главными площадками, а нормальные
напряжения на них — главными напряжениями. В порядке возрастания эти напряжения
обозначаются через 
, 
, 
(
).
В случае плоского поперечного изгиба = 0, а главные напряжения вычисляются по формуле
(4.3.1)
Максимальное касательное напряжение возникает в площадках, наклоненных под углом 45о к главным площадкам. Максимальное касательное напряжение определяют по формуле
(4.3.2)
Угол 
между главной площадкой и поперечным сечением перпендикулярным
оси балки можно найти из выражения
(4.3.3)
Задача 4.3.1. Построить эпюры главных
напряжений
,
и эпюру максимальных касательных напряжений 
в наиболее опасном с точки зрения главных напряжений
поперечном сечении балки, изображенной на рис. 4.1.16. При расчете принять q =
10 кН/м, l = 6 м, материал балки — сталь с Ry = 240 МПа, 
= 1.
Решение. Из эпюр изгибающего момента М и поперечных сил Q очевидно, что наиболее опасное поперечное сечение на опоре (в заделке), где Mz,max = 2ql2 = 720 кН·м, Qmax = 2ql = 120 кН. Подберем сечение в виде прокатного двутаврового профиля, для чего из формулы (4.2.7) находим
Принимаем двутавр № 70Б1 (Wz = 3645 см3, Iz
= 125930 см4) — двутавр стальной горячекатанный с параллельными гранями полок
пo ГОСТ 26020-83. Поперечное сечение с соответствующими размерами показано на
рис. 4.3.1. Кроме того, из таблицы выписываем площадь поперечного сечения А =
164,7 см2, статический момент половины поперечного сечения 
= 2095 см3.
Построим эпюру нормальных напряжений
, для чего определяем
Полученные данные занесем в табл. 4.3.1.
Определяем статические моменты (относительно оси z) части площади, расположенной
выше продольного сечения, проходящего через соответствующие точки. Например, части площади, расположенной выше продольного сечения,
проходящего через точку 2, находим по формуле
а затем определяем касательное напряжение 
по формуле (4.2.6) при условии, что 
распределены по ширине поперечного сечения равномерно:
Далее находим 
, а затем и касательное напряжение
Таблица 4.3.1
| № точек | yi |
|
|
|
|
|
|
| см | МПа | см3 | МПа | МПа | МПа | МПа | |
| 1 | 34,55 | 198 | 0 | 0 | 99 | 198 | 0 |
| 2 | 33 | 188,7 | 1361 | 0,5 | 94,37 | 188,72 | –0,02 |
| 3 | 33 | 188,7 | 1361 | 10,8 | 95 | 189,35 | –0,65 |
| 4 | 0 | 0 | 2095 | 16,6 | 16,6 | 16,6 | –16,6 |
| 5 | –33 | –188,7 | 1361 | 10,8 | 95 | 0,65 | –189,35 |
| 6 | –33 | –188,7 | 1361 | 0,5 | 94,37 | 0,02 | –188,72 |
| 7 | –34,55 | –198 | 0 | 0 | 99 | 0 | –198 |
Статический
момент 
можно вычислить по рис. 4.3.1 или взять из табл. III,
б раздела IV «Приложения»: = 2095 см3, а затем найти 
(см. табл. 4.3.1). Определив для каждой точки поперечного
сечения и , находим значения 
по формуле (4.3.2) для соответствующей точки поперечного
сечения, например,
И наконец, приступаем к определению главных
напряжений и 
по формуле (4.3.1):
и далее, используя данные табл. 4.3.1, вычисляем
;
и т.д. Полученные результаты заносим в табл.
4.3.1. На рис. 4.3.1 показаны эпюры главных напряжений , и эпюра 
.
