Найти координаты центра тяжести и вычислить главные моменты инерции для составного сечения, показанного на рис. 2.1.11.
Решение. Для получения результатов используем приведенную программу для ЭВМ на алгоритмическом языке Фортран-IV. Ввод числовых данных для примеров в этой программе осуществляется от метки (5) до метки (8) включительно. Введем нумерацию прокатных профилей и обозначим швеллер № 20 — 3, двутавр № 20 — 2 и горизонтальную полосу — 1. Используя принятые в программе обозначения, осуществим ввод числовых данных (в программе запись осуществляем в один столбец):
5 N=3 FIX(2)=1840.
X(1)=10 FIY(2)=115.
Y(1)=0.5 FIXY(2)=0.
A(1)=20.*1. X(3)=10.
FIX(1)=20.*1.**3/12. Y(3)=19.45
FIY(1)=1.*20.**3/12. A(3)=23.4
FIXY(1)=0. FIX(3)=113.
X(2)=10. FIY(3)=1520.
Y(2)=11. 8 FIXY(3)=0.
A(2)=26.8
Координаты центров тяжести швеллера, двутавра и горизонтальной полосы записаны относительно случайных осей х (рис. 2.1.11) и у/. Ось у/ проходит на расстоянии 10 см от оси у влево.
Ответ: результаты, выдаваемые ЭВМ на печать: хс = 10 см;
ус = 10,83см; Iхс = 5828,34 см4; Iус = 2301,67 см4; Iхсус = 0;
Imax = 5828,34 см4; Imin = Iу = 2301,67 см4; tg2α = 0.
Задача 9.1.2. Вычислить главные моменты инерции для составного поперечного сечения, представленного на рис. 2.1.12. Найти положение главных осей инерции.
Ответ: результаты, выдаваемые ЭВМ: хс = 11,7 см; ус = 10,83 см;
Iхс = 3710,75 см4; Iус = 2065 см4; Iхсус = –382 см4; Imax = 3795 см4;
Imin = 1981 см4; tg2α = 0,4639.
Задачи 9.1.3–9.1.10. Применяя приведенную программу на языке Фортран-IV, проверить расчетом на ЭВМ ответы, данные для примеров 2.3.3–2.3.10.
Задача 9.1.11. Вычислить главные центральные моменты инерции поперечного сечения, показанного на рис. 2.1.13. Найти положение главных осей инерции.
Ответ: результаты, выдаваемые ЭВМ: х = 7,74 см; ус = 6,76 см;
Iхс = 2241,75 см4; Iус = 545,46 см4; Iхсус = –480,95 см4;
Imax = 2368,63 см4; Imin = 418,58 см4; tg2α = 0,56706.
Задача 4.3.5. Построить эпюры главных напряжений
,
и эпюру максимальных касательных напряжений 
в наиболее опасном поперечном сечении (рис. 4.3.4) балки,
изображенной на рис. 4.1.17. При расчете принять l = 2 м, F = 90 кН, Ry = 240
МПа,
. Поперечное сечение представляет собой двутавр
№ 40Б1 стальной горячекатанный с параллельными гранями полок по ГОСТ 26020-83.
Основные размеры показаны на рис. 4.3.4, кроме того, имеем Wz = 803,6 см3; Iz
= 15750 см4; 
= =456 см3. При расчете использовать методику,
изложенную в задаче 4.3.1.
Задача 4.3.6. Построить эпюры главных напряжений , и эпюру максимальных касательных напряжений в наиболее опасном поперечном сечении с точки зрения
главных напряжений. В балке, изображенной на рис. 4.3.5, это — поперечное сечение
с МC = 10 кН·м, QC = 30 кН. Однако поперечное сечение балки следует подбирать
по Мmax = 12,5 кН·м. Материал балки — сталь с Ry = 240 МПа, 
следовательно, Wz,min = 12500/240 = 52 см3. Принимаем
балку из двутавра № 12 с Wz = 58,4 см3 по ГОСТ 8239-89 (таблица III, а, раздела
IV «Приложения)». Далее при построении эпюр , , рекомендуется использовать методику, изложенную в задаче
4.3.1.
4.4. Дифференциальное уравнение изгиба балок
Дифференциальное уравнение изгиба упругой оси балки имеет вид
(4.4.1)
где у = у(х) — уравнение изогнутой оси балки после деформации; М = Мz — изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки; EI — жесткость балки на изгиб, I = Iz — осевой момент инерции относительно нейтральной оси z (рис. 4.2.1).
Интегрируя дифференциальное уравнение (4.4.1), находим угол поворота оси х (угловое перемещение) в произвольном поперечном сечении балки:
(4.4.2)
а затем и прогиб (линейное перемещение) произвольного поперечного сечения балки:
(4.4.3)
где С, D — произвольные постоянные интегрирования, которые находятся при удовлетворении граничных условий в линейных или угловых перемещениях.
У к а з а н и я
1. Уравнения (4.4.1) — (4.4.3) составляются для каждого участка балки. Участком балки называется такая ее часть, в пределах которой законы изменения внешней нагрузки остаются постоянными. В пределах одного участка закон изменения изгибающего момента M = Mz можно выразить одной формулой.
2. Для удобства вычисления произвольных постоянных интегрирования С и D необходимо записывать закон изменения изгибающего момента для каждого участка произвольной балки (рис. 4.4.1) в виде
(4.4.4)
В этом случае угол поворота 
оси балки получаем после интегрирования полученных выше
выражений (4.4.4):
(4.4.5)
Интегрируя еще раз, получаем искомый прогиб балки в виде формул для каждого участка отдельно:
(4.4.6)
Из формул (4.4.4)
(4.4.6) видно, что при записи закона изменения изгибающего
момента сосредоточенный момент необходимо брать с плечом в степени нуль, например,
для первого участка
Интегрирование производить, не раскрывая скобок. Только
после получения окончательного результата (4.4.6) можно раскрывать скобки и производить
алгебраические упрощения.
