Построение эпюр прогибов упругой оси балки
В разделе 4.4 приводится дифференциальное уравнение изгиба упругой оси балки (4.4.1), интегрируя которое можно найти прогиб произвольного поперечного сечения балки. Удовлетворив граничным условиям, находят произвольные постоянные, в результате чего уравнение упругой оси балки можно записать в виде уi = уi(х), где i — число участков, на которые разбивается балка.
Построим эпюру прогибов балки, которая рассматривается
в задаче 4.4.1, рис. 4.4.2 (глава 4). Балка содержит три участка 
, 
и 
. Для каждого участка балки получено уравнение изогнутой
оси балки (4.4.8).
Реализуем процесс построения эпюры прогибов упругой оси балки (рис. 4.4.2) и нахождения максимального прогиба в виде программы для ЭВМ на алгоритмическом языке Фортран-IV.
Для числового примера примем балку из двутавра № 20 (Iz = 1840 см4; Е = 2,1·106 кг/см2) с а = 1 м, l = 2 м, q = 200 кг/м. Общая длина однопролетной балки L = 4 м.
Ввод числовых данных
осуществляется способом «присвоения» с метки (5) до метки (8) включительно. От
метки (9) до метки (16) описывается первый участок (
), от метки (20) до метки (26) — второй (
), а от метки (30) до метки (36) —
третий (
).
В программе используются следующие идентификаторы:
| текст | а | l | L | x | y | q | E | Iz | C | D |
| программа | А | В | FL | X | Y | Q | FE | FI | C | D |
Машина будет выдавать на печать значения прогибов с шагом Δх = =20 см. Изменяя значения параметров AN, AL (см. программу) можно увеличить или уменьшить шаг счета Δх.
PROGRAM BEAM
5 A=100.
B=200.
FL=400.
Q=2.
FE=2.1E6
FI=1840.
G=FE*FI
C=Q*((FL–A)**4/(24.*FL)–B*FL*FL/12.-A**4/(24.*FL))/G
8 D=0.
9 AN=5.
X=–A/AN
12 X=X+A/AN
IF (X–A) 15, 15, 20
15 Y=Q*B*X**3/(12.*G)+C*X+D
WRITE (7, 50) X,Y
16 GO TO 12
20 AL=10.
X=A–B/AL
22 X=X+B/AL
IF (X–A–B) 25, 25, 30
25 Y=Q*(B*X**3/12. — (X–A)**4/24.)/G+C*X+D
WRITE (7,50) X,Y
26 GO TO 22
30 AN=5
X=A+B–A/AN
32 X=X+A/AN
IF (X-FL) 35, 35, 60
35 Y=Q*(B*X**3/12.– (X–A)**4/24.+(X–A–B)**4/24.)/G+C*X+D
WRITE (7, 50) X,Y
36 G0 TO 32
50 FORMAT (2HX=, F5.1, 3X, 2HY=, E12.4)
60 STOP
END
Задача 4.4.1. Определить максимальный прогиб однопролетной балки,
изображенной на рис. 4.4.2. Жесткость балки на изгиб постоянна и равна EI.
Решение. Определяем опорные реакции RA, RB. С учетом симметрии находим RA = RB = ql/2.
Мысленно проводим сечения в каждом из трех участков рассматриваемой балки. Сечения имеют абсциссы х1, х2 и х3, так как начало координат помещено в точке А.
Запишем значения изгибающих моментов в каждом из проведенных сечений:
При определении МIII учитывалось, что распределенную
нагрузку q необходимо продолжить вправо на всю длину балки, а на третьем участке
необходимо ввести компенсирующую нагрузку, противоположную по направлению заданной
и с той же интенсивностью q. Проведенная операция с распределенной нагрузкой q
не влияет на напряженно-деформированное состояние балки, но дает преимущества
при вычислении произвольных постоянных С и D.
Интегрируем полученные выражения согласно формуле (4.4.2) с учетом указаний (4.4.5):
(4.4.7)
Интегрируя еще раз полученные зависимости, получаем значения прогибов для каждого участка балки:
(4.4.8)
Для определения постоянных интегрирования С и D необходимо поставить два граничных условия. Рассматривая балку на рис. 4.4.2, замечаем, что прогибы на опорах А и В равны нулю, так как шарнирно подвижная В и шарнирно неподвижная А опоры препятствуют вертикальному перемещению концов балки. Следовательно, граничные условия можно записать как: при х1 = 0 имеем уI = 0 и при х3 = 2a + l имеем уIII = 0.
Применительно к формулам (4.4.8) получаем, что при x1 = 0 имеем yI = =D = 0, откуда D = 0, а при x3 = 2a + l имеем
откуда, принимая 2a + l = L, находим:
Подставляя полученное выражение для C и D = 0 в формулы (4.4.8), определяем
Подставляя выражение для определения С и равенство D = 0 в формулы (4.4.7), получим формулы для вычисления углов поворота поперечных сечений балки для каждого участка.
По условию задачи требуется определить максимальный прогиб балки. С учетом симметрии балки (рис. 4.4.2) делаем вывод, что уmax будет посередине второго участка или что то же самое в середине пролета балки. Для вычисления уmax используем формулу для прогибов второго участка при x2 = L/2 или x2 = a + l/2:
Полагая a = 0, l = L из полученной формулы можно получить максимальный прогиб в середине пролета балки (рис. 4.2.6), полностью загруженной равномерно распределенной нагрузкой q
Подставляя значение x2 = L/2 или x2 = a + l/2,
находим угол поворота поперечного сечения в середине второго участка 
(x = L/2) = 0.
