Расчеты на растяжение и сжатие статически неопределимых стержневых систем
Задача 1.5.1 (Пример взят из учебника А.В. Даркова, Г.С. Шпиро «Сопротивление материалов». — М.: «Высшая школа», 1975. — Изд.4-е. — 656с.).
Дана статически неопределимая плоская шарнирно - стержневая система, состоящая из абсолютно жесткого бруса, опертого на шарнирную опору и прикрепленного к двум стержням ВВ1 и СС1 при помощи шарниров.
Площади поперечных сечений показаны на рис.1.5.1, а. Определить нормальные усилия в стержнях ВВ1 и СС1.
Решение. На рис.1.5.1, б показана расчетная схема рассматриваемой
шарнирной системы, где N1, N2 — нормальные силы, возникающие в стержнях ВВ1 и
СС1; V, H — вертикальная и горизонтальная составляющая опорной реакции шарнирно-непод-вижной
опоры О; F — внешняя сосредоточенная сила, приложенная к абсолютно жесткому брусу
ВD. Таким образом, имеем четыре неизвестные реакции (N1, N2, V, H,) и три уравнения
равновесия (
,
,
). Следовательно, данная система является один раз статически
неопределимой и для ее решения требуется составить одно дополнительное уравнение
перемещений.
Запишем уравнение равновесия
(а)
которое содержит две неизвестные нормальные силы N1 и N2. Для составления дополнительного уравнения перемещений рассмотрим деформацию системы, предположив, что абсолютно жесткий брус ВD при деформации повернется вокруг опоры О (рис. 1.5.1, б, пунктирная линия В/ОD/), оставаясь прямым.
Из подобия треугольников ВВ/О и DD/О находим:
или 
(б)
Из-за малости перемещений будем полагать, что точки В, С, D при деформации системы переместятся соответственно в точки В/, С/, D/, т.е. перемещения точек абсолютно жесткого бруса будут происходить вертикально. Определим удлинения стержней ВВ1 и СС1:
(в)
но с другой стороны при рассмотрении рис. 1.5.1, б можно получить
и 
или 
а с учетом формул (в) имеем 
(г)
Приравняем соответствующие части формул (б) и (г):
(д)
Таким образом, получена система двух уравнений (а) и (д) с двумя неизвестными N1 и N2, решая которую находим
.
Пример
На
брус заданного поперечного сечения в точке 
действует продольная сжимающая сила 
кН
Определить положение главных центральных осей инерции, вычислить главные моменты и квадраты главных радиусов инерции сечения. Найти положение нулевой линии, определить наибольшие (растягивающие и сжимающие) напряжения и построить ядро сечения в сечении, удаленном от верхнего торца.
Решение
Нахождение положения главных центральных осей и определение площади поперечного сечения
Оси
, 
совпадают с осями симметрии сечения, следовательно, являются
главными центральными осями инерции.
Площадь поперечного сечения бруса:
м2.
2. Определение главных моментов инерции и квадратов главных радиусов инерции:
м4;
м4.
Квадраты главных радиусов инерции:
м2;
м2.
