Расчетно-графическая работа № 17
Расчет стержневой системы на действие инерционной нагрузки
Содержание задания
Стержневая система вращается вокруг оси АВ с постоянной угловой скоростью n (об/мин).
Требуется оценить прочность стальной конструкции, состоящей из стержней круглого поперечного сечения диаметром d. Плотность материала конструкции ρ = 7750 кг/м3 , расчетное сопротивление стали растяжению, сжатию изгибу по пределу текучести Ry = 220 МПа.
Для решения задачи необходимо:
1. Вычислить по участкам и показать на чертеже распределенные внешние инерционные нагрузки.
2. Построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и нормальных сил.
3. Пользуясь только эпюрой изгибающих моментов, определить максимальное нормальное напряжение, которое сравнить с расчетным сопротивлением стали растяжению, сжатию изгибу по пределу текучести Ry. Влиянием поперечных и нормальных сил пренебречь.
Данные к задаче взять из табл. 1 и 2. Все необходимые материалы для выполнения работы содержатся в примере 7.1.9.
Таблица 1
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Схема | I | II | III | IV | V | VI | VII | VIII | IX | X |
Таблица 2
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| a, см | 20 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 40 | 35 | 30 |
| d, см | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | 4,0 | 3,5 | 3,0 | 2,5 |
| n, об/мин | 300 | 320 | 350 | 400 | 350 | 300 | 250 | 300 | 250 | 200 |
Упругие колебания систем с одной степенью свободы
Упругими колебаниями называют движения упругих тел, представляющие собой периодические отклонения их относительно положения равновесия.
Колебания, вызванные некоторым начальным воздействием и совершаемые затем под действием собственных сил упругости, называют свободными или собственными. Колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил, называются вынужденными.
В динамических расчетах важным понятием является число степеней свободы системы — наименьшее количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс системы в произвольный момент времени. Системами с одной степенью свободы будут такие, у которых для полной фиксации их геометрического состояния в любой момент времени достаточно знать один параметр, например, положение определенной точки.
В настоящем издании рассмотрены задачи только на незатухающие свободные колебания систем с одной степенью свободы без учета и с учетом собственной массы системы.
Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, которые описываются тригонометрическими функциями синуса или косинуса, например,
(7.3.1)
где А0 — амплитуда, т.е. максимальное значение обобщенной координаты x при колебаниях системы (рис. 7.3.1); ω — круговая частота свободных колебаний (число колебаний за 2π секунд); (ωt + φ) — фаза колебаний; φ — начальная фаза колебаний, т.е. фаза в момент времени t = 0.
Промежуток времени между двумя последующими отклонениями упругой системы от положения равновесия одного знака называется периодом колебаний и обозначается буквой Т.
Период колебаний и круговая частота свободных колебаний связаны зависимостью
(7.3.2)
Круговая частота ω связана с сосредоточенной массой m и жесткостью с системы зависимостью
(7.3.3)
Жесткость системы — это сила, которая вызывает перемещение, равное единице. Часто масса колеблющейся системы считается постоянной, а упругая система линейной, для которой сила упругости Р = mg (g — ускорение свободного падения) пропорциональна соответствующему перемещению xst, т. е.
P = c xst. (7.3.4)
Учитывая приведенные выше соотношения, можно записать формулы для круговой
частоты и периода свободных колебаний, каждая из которых в том или ином случае
может оказаться удобной при решении практических задач:
(7.3.5)
(7.3.6)
Возможны системы с несколькими упругими связями, каждая из которых имеет свою жесткость. На рис. 7.3.2, а показана схема механической системы с так называемым параллельным соединением упругих связей с жесткостями с1 и с2, а на рис. 7.3.2, б — с последовательным соединением упругих связей. Суммарные жесткости показанных систем рассчитываются по-разному.
При параллельном соединении упругих связей жесткость системы рассчитывается по формуле
с = с1 + с2 , (7.3.7)
а при последовательном соединении
(7.3.8)
В предыдущих формулах под массой m понимается масса груза, совершающего колебания, без учета собственной массы системы. Ниже такой подход принят в задачах 7.3.1–7.3.7. В остальных задачах принято, что масса m состоит из массы mг груза, совершающего колебания, и приведенной к точке распределенной собственной массы системы mпр
m = mг + mпр, (7.3.9)
где mпр= αm0,
m0 — истинная собственная масса системы; α — коэффициент привидения. Как
и в п. 7.2, принимаем α = 1/3
0,33 — при продольных колебаниях систем, типа
показанной на рис. 7.2.5, а; α = 17/350,5 — для изгибных колебаний шарнирно опертой балки на
двух опорах (рис. 7.2.5, б); α = 33/1400,235 — для изгибных колебаний консоли (рис. 7.2.5, в).
