Для вала, показанного на рис. 3.2.9, построить эпюру изменения по длине вала величины касательного напряжения в крайней точке поперечного сечения.
Ответ: эпюра τ имеет вид кубической параболы.
Задача 3.2.11. Вал круглого поперечного сечения диаметром 10 см и длиной 3 м закручен на угол 2о. Чему равно наибольшее касательное напряжение τmax, если модуль сдвига материала вала равен G = 8·104 МПа?
Ответ: τmax = 46,5 МПа.
Задача 3.2.12. Два вала — круглого и кольцевого поперечного сечений, имеющие один и тот же вес, передают одинаковый крутящий момент. В каком из валов наибольшие касательные напряжения будут больше и во сколько раз, если отношение внутреннего и наружного диаметров полого вала равно 0,6?
Ответ: 
.
Задача 3.2.13. Тонкостенная труба длиной 5 м со средним диаметром 15 см и толщиной стенки 0,25 см закручивается моментами, приложенными по торцам, до величины касательных напряжений τ = 56 МПа. Найти полный угол закручивания трубы, если G = 8·104 МПа.
Ответ: φ = 2,67о.
Задача 3.2.14. Для условий задачи 3.2.3 в предположении, что вал ступенчатый dI = 5,2 см; dII = 6,9 см; dIII = 7,8 см, модуль сдвига материала вала G = 8·104 МПа, построить эпюру углов закручивания, приняв за начало отсчета сечение, где приложен момент М0.
У к а з а н и я
Вначале следует построить эпюру крутящих моментов Тi.
Далее необходимо рассчитать углы закручивания по отдельным участкам вала. Углы закручивания отдельных сечений по отношению к начальному получаются алгебраическим сложением углов закручивания на участках.
При вычислении углов φi на отдельных участках по формуле (3.2.5) значения Тi берутся с эпюры Тi с учетом знаков. Учитывается и знак отрезков li: для сечений, лежащих справа от условно неподвижного, принимается знак «+», слева — «–».
Ответ: φА = 0; φВ = 0,23о; φС = 0,52о; φD = 0,35о.
Динамическая система, деформация которой во времени описывается одним параметром, называется системой с одной степенью свободы.
Запишем, используя принцип Даламбера,
динамическое равновесие массы m, на которую в произвольный момент времени действует
сила инерции, сумма сил 
и упругая сила отпора балки при перемещении 
, равная 
, где 
– коэффициент жесткости балки в точке прикрепления мотора.
Величина К численно равна силе, приложенной к балке в этой точке и невызывающей
прогиб равный единице. Можно приложить силу 
и определить от нее прогиб 
. Тогда
(3.9)
Итак
(3.10)
Продифференцировав (3.8) дважды по времени,
и учтя, что 
- прогиб не зависит от времени, получим
. (3.11)
Теперь вместо (3.10), получим
(3.12)
Далее учтем, что по закону Гука
. (3.13)
Поэтому вместо (3.12) будем рассматривать
дифференциальное уравнение для динамической части прогиба 
(3.14)
или
(3.15)
Обозначим 
(3.16)
тогда получим дифференциальное уравнение динамического прогиба балки как системы с одной степенью свободы без учета сил сопротивления
(3.17)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с известной правой частью.
В математике доказывается, что решение такого уравнения ищется в виде суммы общего решения однородного дифференциального уравнения
(3.18)
и частного решения уравнения (3.17).
Однородное дифференциальное уравнение (3.18) описывает так называемые свободные или собственные колебания упругой системы с одной степенью свободы.
Свободными колебаниями называются колебания, совершаемые под действием сил инерции и сил упругого отпора — без влияния внешних сил. Свободные колебания вызываются начальными воздействиями. Например, можно медленно отодвинуть массу от положения равновесия и затем отпустить. При этом начальные условия будут иметь вид
(3.19)
Можно поступить иначе — толкнуть массу. При этом массе сообщается начальная скорость V0 и начальные условия будут иметь вид
(3.20)
Известно, что решение уравнения (3.18) можно рассматривать в двух формах
(3.21)
или
(3.22)
В той и другой форме участвуют две постоянные
интегрирования (А и В) или 
, которые можно определить из начальных условий (3.19)
или (3.20) или их комбинаций.
Таким образом, собственные колебания (3.22) совершаются по закону синусоиды с амплитудой А1 и круговой частотой
(3.23)
Известно, что функции в выражении (3.21)
имеют общий период 
. Периодом Т колебаний называется отрезок времени (цикл)
через который система приходит в то же состояние, что и в начале отрезка
Отсюда,
(3.24)
(3.25)
Таким образом, круговая частота собственных
колебаний есть число циклов колебаний за секунд.
Коэффициент А1 характеризует размер колебаний
и носит название амплитуды колебания, 
- начальная фаза колебаний.
Найдем частное решение
(3.17), учтя, что функция 
имеет вид (3.6).
