Определить максимальный прогиб однопролетной балки, изображенной на рис. 4.4.2. Жесткость балки на изгиб постоянна и равна EI.
Решение. Определяем опорные реакции RA, RB. С учетом симметрии находим RA = RB = ql/2.
Мысленно проводим сечения в каждом из трех участков рассматриваемой балки. Сечения имеют абсциссы х1, х2 и х3, так как начало координат помещено в точке А.
Запишем значения изгибающих моментов в каждом из проведенных сечений:
При определении МIII учитывалось, что распределенную нагрузку q необходимо продолжить
вправо на всю длину балки, а на третьем участке необходимо ввести компенсирующую
нагрузку, противоположную по направлению заданной и с той же интенсивностью q.
Проведенная операция с распределенной нагрузкой q не влияет на напряженно-деформированное
состояние балки, но дает преимущества при вычислении произвольных постоянных С
и D.
Интегрируем полученные выражения согласно формуле (4.4.2) с учетом указаний (4.4.5):
(4.4.7)
Интегрируя еще раз полученные зависимости, получаем значения прогибов для каждого участка балки:
(4.4.8)
Для определения постоянных интегрирования С и D необходимо поставить два граничных условия. Рассматривая балку на рис. 4.4.2, замечаем, что прогибы на опорах А и В равны нулю, так как шарнирно подвижная В и шарнирно неподвижная А опоры препятствуют вертикальному перемещению концов балки. Следовательно, граничные условия можно записать как: при х1 = 0 имеем уI = 0 и при х3 = 2a + l имеем уIII = 0.
Применительно к формулам (4.4.8) получаем, что при x1 = 0 имеем yI = =D = 0, откуда D = 0, а при x3 = 2a + l имеем
откуда, принимая 2a + l = L, находим:
Подставляя полученное выражение для C и D = 0 в формулы (4.4.8), определяем
Подставляя выражение для определения С и равенство D = 0 в формулы (4.4.7), получим формулы для вычисления углов поворота поперечных сечений балки для каждого участка.
По условию задачи требуется определить максимальный прогиб балки. С учетом симметрии балки (рис. 4.4.2) делаем вывод, что уmax будет посередине второго участка или что то же самое в середине пролета балки. Для вычисления уmax используем формулу для прогибов второго участка при x2 = L/2 или x2 = a + l/2:
Полагая a = 0, l = L из полученной формулы можно получить максимальный прогиб в середине пролета балки (рис. 4.2.6), полностью загруженной равномерно распределенной нагрузкой q
Подставляя
значение x2 = L/2 или x2 = a + l/2, находим угол поворота поперечного сечения
в середине второго участка 
(x = L/2) = 0.
Задача 1.1.17.
В стенке стального двутавра № 20 вырезано отверстие диаметром d = 10 см. Определить
допускаемую равномерно распределенную нагрузку 
(кг/м), которую можно приложить вдоль стенки двутавра
(рис. 1.1.15). Расчетное сопротивление стали Ry = 2450 кг/см2, а 
= 1.
Ответ: = 84933 кг/м = 833,19 Н/м.
1.2. Перемещения поперечных сечений брусьев
в статически определимых задачах
Задача 1.2.1.
Определить перемещение нижнего конца стержня, изображенного на рис. 1.1.1, а.
Задачу решить без учета собственного веса материала бруса. Принять 
a = 0,5 м; А = 10 см2; сосредоточенная сила F = 10 кН.
Решение. Для рассматриваемого случая эпюра нормальных сил представлена на рис. 1.1.1, е. Для стержня со ступенчатым изменением площади и нормальных сил перемещения поперечных сечений вычисляются по формуле (1.7). Рассматривая рис. 1.1.1, а и рис. 1.1.1, е, запишем формулу (1.7) для определения перемещения нижнего конца стержня в виде:
Знак «минус» в ответе показывает, что общая длина стержня
уменьшится, т.е. нижний конец стержня переместится вверх вдоль его оси на величину
мм.
