14.3. Сложение колебаний
| 14.3. Сложение колебаний | |
Векторная диаграмма - это способ графического задания колебательного движения в виде вектора.
Аналитическое задание колебательного движения Графическое задание колебательного движения
Вдоль горизонтальной оси откладывается колеблющаяся величина ξ (любой физической природы). Вектор
, отложенный из точки 0 равен по модулю амплитуде колебания A и направлен под углом α , равным начальной фазе колебания, к оси ξ. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω , равной циклической частоте колебаний, то проекция этого вектора на ось ξ дает значение колеблющейся величины в произвольный момент времени.
14.3.2. Сложение колебаний одинаковой частоты и одинакового направления
Пусть складывается два колебания:
строим векторные диаграммы и складываем векторы:
По теореме косинусов
.
Так как
,
то
.
Очевидно (см. диаграмму), что начальная фаза результирующего колебания определяется соотношением:
.
14.3.3. Сложение колебаний близких частот
Пусть складывается два колебания с почти одинаковыми частотами, т.е.
,
.
Из тригонометрии:
. Применяя к нашему случаю, получим:
График результирующего колебания - график биений, т.е. почти гармонических колебаний частоты ω, амплитуда которых медленно меняется с частотой Δω .
Амплитуда
из-за наличия знака модуля (амплитуда всегда > 0) частота с которой изменяется амплитуда, равна не Δω / 2 , а в два раза выше - Δω.
14.3.4. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний
Пусть маленькое тело колеблется на взаимно-перпендикулярных пружинках одинаковой жесткости. По какой траектории будет двигаться это тело?
Это уравнения траектории в параметрическом виде.
Для получения явной зависимости между координатами x и y надо из уравнений исключить параметр t.
Из первого уравнения:
;
.
Из второго:
.
После подстановки:
.
Избавимся от корня:
.
- это уравнение эллипса.
Частные случаи:
14.4. Затухающие колебания
Рассмотрим колебания, происходящие в двух системах:
а) колебания заряда в колебательном контуре L,C, имеющем активное сопротивление R;
б) колебание грузика, прикрепленного к пружинке, учтем влияние трения на движение грузика.
14.4.1. Колеблющиеся системы
14.4.2. Законы движения
Закон Ома для неоднородного участка цепи (10.7): Второй закон Ньютона (4.6):
14.4.3. Применение законов движения, с учетом особенности наших систем
Или, используя другое обозначение производной: 14.4.4. Введем обозначения:
14.4.5. Дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания наших двух систем в этих обозначениях будет иметь один и тот же вид
.
14.4.6. Решение
Каким будет его решение? При
(отсутствие сопротивления, трения) оно должно переходить в
(см. 14.2).
Наличие затухания, потерь энергии, переход ее из электромагнитной или механической в тепловую приведет к уменьшению амплитуды колебаний с течением времени, станет другой, меньшей чем ω0, и частота колебаний.
Предположим, что амплитуда убывает по экспоненциальному закону, т.е. A(t) = A0·e-βt(e=2,71828…),
тогда решение будем искать в виде:
.
14.4.7. Проверка
Выясним, при каких условиях эта функция будет решением, для этого найдем
и подставим в дифференциальное уравнение.
Сгруппируем члены с косинусом и синусом, на A0e-βt сократим:
.
Для тождественного обращения левой части в ноль надо, что бы коэффициент при косинусе обращался в ноль (коэффициент при синусе обратился в ноль, т.к. мы "удачно" выбрали A(t) = A0-βt). Из этого требования следует выражение для - ω частоты затухающих колебаний.
14.4.8. Частота затухающих колебаний
.
14.4.9. Период затухающих колебаний
.
14.4.10. График затухающих колебаний
14.4.11. Переход к апериодическому движению
При увеличении коэффициента затухания β период затухающих колебаний (14.4.9) растет, при β → ω0период T → ∞ . При β > ω0 периодическое решение у дифференциального уравнения затухающих колебаний отсутствует:
14.4.12. Логарифмический декремент затухания
,
подставим A(t) = A0-βt.
.
14.4.13. Время релаксации
Время релаксации - это время τ, за которое амплитуда уменьшилась в e=2,7… раз, т.е.
, тогда
.
.
Т.к.
- число колебаний за время , то:
.
14.4.14. Добротность
.
| 14.3. Сложение колебаний | |
| Физические законы механики |
