где
и 
- значения полярного угла φ в концах дуги
.
Вычисление длин дуг кривых, заданных в полярных координатах.
в полярных координатах, то длина дуги l кривой выражается
интегралом:
где и - значения полярного угла φ в концах дуги
.
Пример 1. Найти длину первого витка архимедовой спирали r=aj
Пример 2. Вычислить длину логарифмической спирали 
от некоторой её точки 
до переменной точки 
.
Решение.
В этом случае (независимо от того, какая из величин r или 
больше!)
т.е. длина дуги логарифмической
спирали пропорциональна приращению полярного радиуса дуги.
,
Следовательно, в силу симметрии,
от правой вершины, отвечающей j=0, до любой точки
с полярным углом jáp/4.
Решение.
Если 0£jáp/4, то соs2jñ0. Поэтому
Следовательно,
Последний
интеграл называется эллиптическим интегралом первого рода и его можно привести
к виду, удобному для вычисления с помощью специальных таблиц.
| На главную |