Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения
Уравнение равносторонней гиперболы, асимптотами которой служат оси координат
Гипербола (11.9) называется равносторонней, если ее полуоси равны (a=b). Ее каноническое уравнение
(11.12)
Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения y=x и y=-x и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов Рассмотрим уравнение этой гиперболы в
новой
системе координат Ox'y' (см. рис. 36), полученной из старой поворотом осей координат
на угол 
. Используем формулы поворота осей координат:
Рис. 36.
. 
Подставляем значения а; и у в уравнение (11.12):
или 
где 
Уравнение
равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу являются асимптотами, будет
иметь вид 
.
Дополнительные сведения о гиперболе
Эксцентриситетом
гиперболы (11.9) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной
оси гиперболы, обозначается 
:
Так как для гиперболы с>a , то эксцентриситет гиперболы больше единицы: 
.
Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Действительно, из равенства (11.10)
следует, что 
, т. е. 
и
Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение - ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.
Эксцентриситет
равносторонней гиперболы равен 
. Действительно,
Фокальные
радиусы 
и 
для точек правой ветви гиперболы имеют вид 
и 
, а для левой — 
и 
.
Прямые 
называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы 
, то 
. Это значит, что правая директриса расположена между центром
и правой вершиной гиперболы, левая — между центром и левой вершиной.
Директрисы гиперболы имеют то же свойство
, что и директрисы эллипса. Кривая, определяемая
уравнением 
, также есть гипербола,
действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2а — на оси
Ох. На рисунке 37 она изображена пунктиром.
Рис.37
Очевидно,
что гиперболы 
и имеют общие
асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.
