Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения
Парабола
Каноническое уравнение параболы
Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется пораметпром параболы и обозначается через p(p>0).
Для
вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила
через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало
координат О расположим посередине между фокусом и директрисой (см. рис. 38).
В выбранной системе фокус F имеет координаты 
,а
уравнение директрисы имеет вид 
,
или 
.
Пусть М(х;у) — произвольная точка параболы. Соединим точку
М с F. Проведем отрезок MN перпендикулярно
Рис. 38 директрисе. Согласно определению параболы MF=MN. По формуле расстояния между двумя точками находим:
,
а 
Следовательно,
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
т.е.
(11.13)
Уравнение (11.13) называется каноническим уравнением параболы. Парабола есть линия второго порядка.
Исследование форм параболы по ее уравнению
1. В уравнении (11.13) переменная у входит в четной степени,
значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью симметрии
параболы.
2. Так как р > 0, то из (11.13) следует,
что 
. Следовательно, парабола расположена
справа от оси Оу.
3. При х=0 имеем y=0.
Следовательно, парабола проходит через начало координат.
Рис.39.
4. При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно возрастает.
Парабола имеет вид (форму), изображенный на рисунке 39. Точка O(0;
0) называется вершиной параболы, отрезок FM =r называется фокальным радиусом точки
М.
Уравнения у2 = —2рх, х2 = 2ру, х2 = -2ру (р > 0) также определяют параболы, они изображены на рисунке 40.
Нетрудно показать, что
график квадратного трехчлена 
, где 
, В и С любые действительные числа, представляет собой параболу
в смысле приведенного выше ее определения.
