Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Примеры решения задач курсовой | Матрицы | Производные | Векторная алгебра | Векторный анализ | Аналитическая геометрия | Интегралы | Пределы | Векторная алгебра | Комплексные числа | ТФКП

Общее уравнение линий второго порядка

Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными координатным осям

Найдем сначала уравнение эллипса с центром в точке , оси симметрии которого параллельны координатным осям Ох и Оу и полуоси соответственно равны а и b. Поместим в центре эллипса начало новой системы координат , оси которой и параллельны соответ­ствующим осям Ох и Оу и одинаково с ними направленны (см. рис.41).

В этой системе координат уравнение Рис.41.

эл­липса имеет вид

Так как , то в старой системе координат

уравнение эллипса запишется в виде

Аналогично рассуждая, получим уравне­ние гиперболы с центром в точке и полуосями а и Ь (см. рис. 42):

И, наконец, параболы, изображенные на рисунке 43, имеют соответству­ющие уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение Ac2 + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = О

Уравнения эллипса, гиперболы, параболы и уравнение окружности после преобразований (раскрыть скобки, пе­ренести все члены уравнения в одну сторону, привести подобные члены, ввести новые обозначения для коэффициентов) можно записать с помо­щью единого уравнения вида

(11.14)

где коэффициенты А и С не равны нулю одновременно.

Возникает вопрос: всякое ли уравнение вида (11.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка?

Ответ дает следующая теорема.

Теорема 11.2. Уравнение (11.14) всегда определяет: либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А • С > 0), либо гиперболу (при А • С < 0), либо параболу (при АС = 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

 

Пример 11.1. Установить вид кривой второго порядка, заданной урав­нением

Решение: Предложенное уравнение определяет эллипс . Действительно, проделаем следующие преобразования:

Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в и полуосями и .

 

 

Пример 11.2. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением х2 + 10х - 2у + 11 = 0.

Решение: Указанное уравнение определяет параболу (С = 0). Действи­тельно,

.

Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке и .

 

Пример 11.3. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением.

Решение: Преобразуем уравнение:

Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые

Общее уравнение второго порядка

Рассмотрим теперь общее уравнение второй степени с двумя неизвест­ными:

Ax2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F == 0. (11.15)

Оно отличается от уравнения (11.14) наличием члена с произведением координат. Можно, путем поворота координатных осей на угол , преобразовать это уравнение, чтобы в нем член с произведением координат отсутствовал.

Используя формулы поворота осей

выразим старые координаты через новые:

Выберем угол так, коэффициент при обратился в нуль, т.е. чтобы выполнялось равенство

т.е.

(11.16)

т.е.

Отсюда

(11.17)

 

Таким образом, при повороте осей на угол , удовлетворяющий условию (11.17), уравнению (11.15) сводится к уравнению (11.14).

Вывод: общее уравнение второго порядка (11.15)определяет на плоскости (если не считать случаев вырождения и распадения) следующие кривые: окружность, эллипс, гиперболу, параболу.

На главную