Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Операции над свободнымивекторами: сложение и умножение на число.

Определение : Сумма свободных векторов.

Пусть a, b V₃. Возьмем произвольно точку О.

Корректность сложения: OB a+b, O'B' a+b OB = O'B'.

Определение: Пусть a - свободный вектор, AB — его реализация, тогда BA является реализацией свободного вектора (-a).

(-a) – обратный вектор для a, т.е. (-a) = { BA : AB a }

Определение: Умножение вектора на число:

1) λ•θ = θ для λ R.

2) a ≠ θ, AB a, отрезок AB лежит на прямой l.

2.1) λ = 0 λ∙a = θ.

2.2) λ > 0 AC λ∙a, где AC т.ч. |AC| = λ•|AB|, C l и т. B и C находятся по одну сторону от т. А.

2.3) λ < 0 AD λ∙a, где AD т.ч. |AD| = |λ|∙|AB|, D l и т. B и D находятся по разные стороны от т. А.

Свойства операций над векторами: a, b, c V₃ , λ, μ R

1) Коммутативность сложения

a + b = b + a.

2) Ассоциативность сложения

a + b + c = (a + b)+ c = a +( b + c).

3) a + θ = a.

4) a +(-a) = θ.

5) Ассоциативность умножения на число

λ(μ∙ a) = (λμ)∙ a

6) 1∙ a = a.

7) Дистрибутивность умножения на число относительно сложения векторов

λ∙( a + b) = λ∙ a +λ∙ b.

8) Дистрибутивность умножения на число относительно сложения чисел

(λ+μ)∙ a = λ∙ a +μ∙ a

На главную