К элементарным преобразованиям относятся: 1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю. 2)Перестановка уравнений местами. 3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Теорема Кронекера — Капелли. (условие совместности системы) (Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. RgA = RgA^*. Очевидно, что система (1) может быть записана в виде: x₁ + x₂ + … + x_n

Доказательство. 1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А^* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений: A = ~ . RgA = 2. A* = RgA* = 3. Система несовместна.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений. А = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2; A* = RgA* = 2. Система совместна. Решения: x₁ = 1; x₂ =1/2.

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой