Пример.
Найти скалярное произведение (3
- 2
)×(5 - 6), если 
15×- 18×- 10×+ 12× = 15
+
12×36 = 240 — 336 + 432 = 672 — 336 = 336.
Пример. Найти угол между
векторами и , если 
.
Т.е. = (3, 4, 5), = (4,
5, -3) ×= 12 + 20 - 15 =17
: 
. cosj = 
Пример.
При каком m векторы
и 
перпендикулярны.
= (m, 1, 0); = (3,
-3, -4) 
.
Пример. Найти скалярное произведение
векторов 
и 
, если 
()() = 
= 10 +
+ 27 +
51 + 135 + 72 + 252 = 547.
Занятие № 4. Интегрирование рациональных дробей
Цель занятия — научиться разлагать рациональные дроби на простейшие, научиться интегрировать простейшие рациональные дроби.
Изучив оба метода интегрирования: замену переменной и интегрирование по частям, перейдем к нахождению интегралов от различных классов элементарных функций.
Определение. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:
.
В последующем постоянно предполагается, что дробь 
несократима, т.е. многочлены 
не имеют общих корней. Рациональная дробь
называется правильной, если 
,
и неправильной, если 
. Рассмотрим
несколько примеров.
.
Здесь
дробь 
правильная, так как 
; дробь 
также правильная, так как 
; дробь 
неправильная, так как 
. Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель,
можно получить целую часть этой дроби — многочлен степени 
, плюс некоторую правильную рациональную
дробь. Таким образом, неправильная рациональная дробь представлена в виде
,
где 
- многочлен степени , а 
- правильная рациональная дробь.
Пример. Выделить
целую часть дроби 
.
Делим числитель на знаменатель «углом»:
.
Замечание. В простейших случаях, когда, например, 
, эту работу можно выполнить быстрее:
,
.
Поскольку интегрирование многочлена не представляет труда, то по существу, дело сводится к интегрированию правильных рациональных дробей. Для этого потребуются некоторые новые понятия.
Хорошо известно,
что квадратный трехчлен с вещественными корнями 
разлагается на линейные множители: 
.
В общем случае многочлен степени n разлагается на произведение линейных и квадратных множителей вида
,
причем указанные трехчлены не имеют вещественных
корней. При этом говорят, что корень 
- простой, корень 
имеет кратность
к.
