Уравнение линии на плоскости.
Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.
Определение. Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию. Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t. Характерный пример — траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.
Уравнение прямой на плоскости. Математика примеры решения задач Дифференциальные уравнения первого порядка Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:- C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 — прямая проходит через начало координат- А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох- В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} — прямая параллельна оси Оу- В = С = 0, А ¹ 0 — прямая совпадает с осью Оу- А = С = 0, В ¹ 0 — прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких — либо заданных начальных условий.
Занятие № 6. Интегрирование тригонометрических функций
Цель занятия -
научиться брать интегралы вида 
, где R- рациональная функция относительно
.
Интегралы вида J находили
в конце прошлого занятия в примерах 
где использовались тригонометрические подстановки. Разобранные там примеры были
достаточно простые. В общем же случае вопрос решает следующая теорема.
Теорема. Всякий интеграл J с помощью подстановки 
приводится к интегралу от рациональной
дроби.
Доказательство. Из подстановки следует, что 
. Кроме того, используем известные формулы тригонометрии:
.
После
замены 
их значениями получим интеграл от рациональной дроби
относительно t. Подстановка в силу ее всеобщности называется универсальной тригонометрической
подстановкой.
Пример. Найти интеграл 
.
Решение. После замены 
их значениями, получим
,
где 
, 
.
Пример. Найти самостоятельно интеграл
.
Универсальная подготовка (в силу ее всеобщности) зачастую приводит к рациональным дробям, интегрирование которых достаточно сложно и громоздко. Кроме того, во многих случаях к цели приводят более простые методы. Приведем некоторую классификацию частных случаев.
Интегралы вида
.
Здесь возможны следующие случаи.
1. Оба показателя степени: m и n — четные положительные числа (один из них может быть нулем). Тогда к цели приводят так называемые формулы понижения степени:
.
Пример. Найти интеграл 
.
Так как 
и заменяем 
.
После упрощений получим 
,
.
2. Хотя бы одно из чисел m или n — нечетное положительное число. Тогда применяем
метод отщепления от нечетной степени 
и используем формулы 
.
