Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим xcosj + ysinj - p = 0 – нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0. р — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох. Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G

Пример. Дано общее уравнение прямой 12х — 5у — 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой. уравнение этой прямой в отрезках: уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5) нормальное уравнение прямой: ; cosj = 12/13; sinj = -5/13; p = 5. Cледует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.

Пример. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см². Уравнение прямой имеет вид: , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4. a = -4 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у — 4 = 0.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат. Уравнение прямой имеет вид: , где х₁ = у₁ = 0; x₂ = -2; y₂ = -3.

Занятие № 3. Интегрирование по частям

Цель занятия — научиться пользоваться формулой и применять ее к каждому из рассмотренных ниже классов функций.

Если заданный интеграл не может быть найден рассмотренными выше способами, то подынтегральное выражение разбивают на два сомножителя (u и dv) таким образом, чтобы интеграл был табличным или сводился к табличному. Единого правила для этого не существует, однако можно провести некоторую классификацию интегралов, которые берутся по частям.

1. Интегралы, содержащие произведение многочлена на тригонометрические или показательные функции. Более точно к первому классу относятся интегралы вида

Так как интегралы от по существу табличные, то в этих примерах мешает интегрированию многочлен . От него можно освободиться путем n-кратного дифференцирования, так как при каждом дифференцировании степень многочлена понижается на одну единицу. Поэтому во всех примерах в качестве функции u берут многочлен, т.е. полагают, что . Приведем примеры.

,

Окончательно можно записать:

,

.

Замечание. Обратите внимание, что здесь был дан одночлен второй степени,

т. е. . Поэтому формула интегрирования по частям применялась дважды.

2. Так называемые циклические интегралы. К ним относятся интегралы вида

.

В интегралах и надо дважды применить формулу интегрирования по частям, причем разбиение подынтегрального выражения на u и dv можно выполнить

по-разному. Найдем, например, интеграл .

.

Повторяем этот процесс.

.

.

Здесь в правой части находится исходный интеграл .

. Решив это уравнение относительно , найдем , , .

Аналогично доказывается, что интеграл определяется формулой

. Для нахождения интегралов достаточно один раз применить формулу интегрирования по частям, а затем воспользоваться формулами тригонометрии. Например,

Так как , то , поэтому

,

.Отсюда следует, что

. Как видно, циклические интегралы находятся довольно громоздким способом, поэтому они внесены в таблицу интегралов под номерами (11) — (14).

3. К третьему классу относятся некоторые интегралы, содержащие аркусы или логарифмы в сочетании с многочленами:

Так как в таблице нет интегралов от аркусов или логарифмов, то эти функции надо «убить» с помощью дифференцирования. Поэтому в качестве функции u берем .

,

Полученный интеграл снова берем по частям.

Окончательно получаем ,

.

Замечание. Указанные три класса не исчерпывают многообразия всех случаев применения формулы интегрирования по частям. Например, интеграл относится к числу циклических. Действительно, полагая

получим

.

Полученный интеграл снова находим по частям

.

Итак, .

Отсюда , .

Замечание. Во многих случаях приходится применять оба способа – замену переменной и интегрирование по частям, например,

.

Интегрируя по частям трижды, находим, что

. После подстановки

.

§1. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции. Вычисление пределов. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентность. Неопределенные выражения. §2. Замечательные пределы. Сложные проценты, задача о непрерывном начислении процентов. §3. Односторонние пределы. Непрерывность функции и ее точки разрыва. Свойства непрерывных функций.

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой