Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁, y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как . Две прямые параллельны, если k₁ = k₂. Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = lА, В₁ = lВ. Если еще и С₁ = lС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.

Определение. Прямая, проходящая через точку М₁(х₁, у₁) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как .

Доказательство. Пусть точка М₁(х₁, у₁) — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁: (1) Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений: Второе уравнение системы — это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₀ перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду: A(x — x₀) + B(y — y₀) + Ax₀ + By₀ + C = 0, то, решая, получим: Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим: . Теорема доказана. Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1. K₁ = -3; k₂ = 2 tgj = ; j = p/4. Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у — 3 = 0 перпендикулярны. Находим: k₁ = 3/5, k₂ = -5/3, k₁k₂ = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

§1. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции. Вычисление пределов. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентность. Неопределенные выражения. §2. Замечательные пределы. Сложные проценты, задача о непрерывном начислении процентов. §3. Односторонние пределы. Непрерывность функции и ее точки разрыва. Свойства непрерывных функций.

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой