Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1).

Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y — 6; 2x — 3y + 3 = 0; Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: . Ответ: 3x + 2y — 34 = 0.

Для самостоятельного решения: Даны стороны треугольника x + y — 6 = 0, 3x — 5y + 15 = 0, 5x — 3y — 14 = 0. Составить уравнения его высот. Указание: Сначала следует найти координаты вершин треугольника, как точек пересечения сторон, затем воспользоваться методом, рассмотренном в предыдущем примере. Ответ: { x — y = 0; 5x + 3y — 26 = 0; 3x + 5y — 26 = 0}.

Тригонометрические подстановки

Интегралы удобно находить с помощью тригонометрических подстановок. При этом часто используются тригонометрические тождества

.

В интеграле к цели приводит подстановка , . В итоге получаем интеграл , не содержащий иррациональностей.

При этом возврат к старой переменной «х» проще выполнить с помощью прямоугольного треугольника. Так как , то получаем треугольник со сторонами (теорема Пифагора). Отсюда находится любая тригонометрическая функция.

а х

t

Пример. Найти .

Решение. ,

а х ,

, ,

.

Интеграл находится с помощью подстановки .Тогда ,.

. В качестве упражнения найдите интеграл . Наконец, в интеграле цель достигается с помощью подстановки . Тогда ,

. Здесь использовалось тождество , откуда . Возврат к старой переменной «х» выполняется также с помощью прямоугольного треугольника.

Пример. Найти интеграл .

Решение. Полагаем . После замены переменных получим .

Так как .

.

Решить самостоятельно

Найти интегралы

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой