Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

у

А М(х, у)

О F x

p/2 p/2

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;

MF² = y² + (x — p/2)²

(x + p/2)² = y² + (x — p/2)²

x² +xp + p²/4 = y² + x² — xp + p²/4

y² = 2px

Уравнение директрисы: x = -p/2.

Пример. На параболе у² = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно:

Занятие № 1. Интегрирование по формулам

Цель занятия — усвоить и запомнить формулы 1-4 групп, прежде всего формулы (1) - (3) интегралов от степенных функций. Основная формула (1)

, показывает, что при интегрировании степени ее

показатель возрастает на одну единицу. Так, например,

.

Приведем более сложный пример:

.

Здесь воспользовались известным разложением .

Разделив числитель на знаменатель, получим

,

,

,

.

Интеграл можно найти двумя способами. Так как , по свойству 8 при и находим

.

Другой способ. Полагая здесь , получим

Говорят, что интеграл поправлен на 1/7, иначе говоря, под знак дифференциала подведено основание 7х — 5, чтобы получить точно табличную формулу (1).

Рассмотрим интеграл . Полагая здесь , , получим

. Формулы (2) и (3) суть частные случаи основной формулы (1) при и . Их рекомендуется запомнить, так как они будут часто встречаться в последующем. Приведем примеры.

Так как , (по свойству 6 неопределенного интеграла), (свойство 8). Аналогично ,, поскольку . Во- обще свойства 6 - 8 неопределенного интеграла надо хорошо усвоить. Это позволяет находить простейшие интегралы самым коротким способом. Приведем еще несколько примеров.

, так как здесь .

, так как здесь .

, так как здесь .

, так как здесь .

Теперь обратимся к формуле (4): . Она применяется в тех случаях, когда в числителе стоит дифференциал знаменателя, точнее, когда в числителе может быть получен дифференциал знаменателя. Приведем примеры.

. Так как , то

,

.

Рассмотрим интеграл от показательной функции и ее частный, но очень важный случай - интеграл от экспоненты:

(свойство 6),

(свойство 8),

Здесь , поэтому

,

. Здесь , поэтому

.

Замечание. Поскольку операция интегрирования является обратной по отноше-нию к операции дифференцирования, полученный ответ всегда можно проверить. Для этого его надо продифференцировать и показать, что получится подынтеграль-ная функция. Так, в последнем примере .

Обратимся к интегрированию гиперболических функций.

Найти интеграл .

Так как , получим

.

Найти интеграл .

§1. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции. Вычисление пределов. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентность. Неопределенные выражения. §2. Замечательные пределы. Сложные проценты, задача о непрерывном начислении процентов. §3. Односторонние пределы. Непрерывность функции и ее точки разрыва. Свойства непрерывных функций.

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой