Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде: 
Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.
, т.е. А(0, 2, 1).
Находим компоненты направляющего вектора прямой.
Тогда канонические уравнения прямой:
Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:
Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:
;
2x — 9x — 7 = 0;
x = -1; y = 3;
Получаем: A(-1; 3; 0).
Направляющий
вектор прямой: 
.
Итого:
Задание 3.
3. 
Решение:
Общее
решение линейного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего
однородного уравнения (уравнения без правой части) 
и частного решения исходного неоднородного уравнения 
, т.е. результат решения данного дифференциального уравнения
1)
В начале находим общее решение уравнения 
.
Составляем его характеристическое уравнение:
, решаем это квадратное уравнение:
,
, 
.
т.е. характеристическое уравнение имеет 2 различных вещественных корня.
Согласно формуле 
находим общее решение соответствующего однородного уравнения:
2) Найдем теперь частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения: yч.p.н.
Эта
функция может быть найдена методом неопределенных коэффициентов (методом подбора)
в том случае, когда его правая часть 
,
тогда частное решение находят по формуле:
, где
r
– кратность корней 
(для дифференциальных уравнений второго порядка r = 0,1,2),
N = max (n, m).
В данном дифференциальном уравнении правая часть 
, 
.
Т.к. 
,
,
Степень многочлена
.
Корни 
не кратны корням характеристического уравнения, значит 
.
Следовательно, 
, т.е. вид частного решения устанавливается по виду правой
части данного уравнения.
Теперь надо найти коэффициенты A, B, C.
Для
этого дифференцируем 2 раза и подставляем в дифференциальное уравнение требуемые
функции y, 
, 
.
,
, получаем равенство:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x из обеих его частей, ибо только при этом условии оно будет тождественным, получим систему уравнений:
,
, 
,
,
.
Подставим найденные коэффициенты в
функцию: 
.
3) Искомое общее решение данного уравнения:
.
Ответ:
.
Замечание: В общем случае
для решения линейных неоднородных уравнений 
применяется метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Этот метод
достаточно сложен: связан с решением системы уравнений и вычислением интегралов.
Поэтому в случаях, когда правая часть уравнения 
имеет указанный вид, лучше задачу решать методом неопределенных
коэффициентов.
