Свойства линейных пространств.
1) В каждом линейном пространстве существует только один нулевой элемент.
2) Для каждого элемента существует только один противоположный элемент.
3) Для каждого 
Î L верно
0× = 0
4) Для каждого a Î R и 
Î L верно
a×=
5)
Если a× = , то a = 0 или =
6) (-1)
= -
Линейные преобразования.
Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое
линейное преобразование А, если любому элементу Î L по
некоторому правилу ставится в соответствие элемент АÎ L.
Определение:
Преобразование А называется линейным, если для любых векторов Î L и 
Î L и
любого a верно:
A(+) = A+A
A(a) = aA
Определение: Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя.
Е =
Пример 1. Разложить дробь
.
Решение. Здесь знаменатель имеет разложение
. Отсюда следует, что 
- простой вещественный корень, ему соответствует дробь
; 
- вещественный двукратный корень, ему соответствует
сумма дробей 
. Поэтому данная дробь представлена суммой 
.
Пример 2. Разложить дробь
.
Решение. Здесь 
, причем трехчлен вещественных корней не имеет, поэтому
.
Пример 3. Разложить
дробь 
.
Решение. Здесь знаменатель 
имеет вещественные простые корни: 
. Двучлен 
веществен-ных корней не имеет: если 
, то 
. Поэтому разло-жение дроби имеет вид
.
Теперь перейдем к нахождению неопределенных коэффициентов разложения: А, В, С,…. Существуют два способа их определения. Поскольку оба способа достаточно простые, рассмотрим их на конкретных примерах.
Первый способ.
Дробь 
представлена в виде
.
Поскольку здесь знаменатели равны, то должны быть равны и числители.
.
Имеет место равенство двух многочленов, которое выполняется тождественно, т.е.
при любых значениям «х».
Пусть, например, 
при 
при 
. Таким образом, получили разложение дроби 
.
Замечание. Нахождение неопределенных коэффициентов А, В, С, … упрощается, если в качестве значений «х» брать корни знаменателя.
Второй способ покажем на следующем примере:
,
.
В правой части раскроем скобки и приведем подобные члены, тогда 
или 
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х и
свободные члены, получаем систему линейных уравнений относительно А, В, С: 
.
Решив эту систему способом подстановки (или по формулам Крамера), получим 
. Подставим эти значения во второе
равенство: 
. Получаем разложение
дроби 
.
Замечание. Результат вычислений всегда можно
проверить. Так, в последнем примере 
.
Упражнение. Разложить на простейшие дробь 
. Разложив дробь 
на простейшие и проинтегрировав полученное
равенство, получим в правой части (в общем случае) сумму следующих четырех интегралов:
Первый
из них по существу табличный: 
. Второй интеграл степенной:
.
Третий интеграл был рассмотрен выше.
Рассмотрим подробнее интеграл 
, 
. Так как 
, чи-слитель представляем в виде 
, 
. Интеграл 
степенной, так как
.
Для
нахождения интеграла 
выделим из трехчлена полный квадрат:
.
Тогда
. Этот интеграл находится с помощью
рекуррентного соотношения (15). Впрочем интеграл может быть найдем с помощью тригонометрической
подстановки 
.
