Рассмотрим частный случай. Пусть А — некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

 

;

в некотором базисе .

Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А.

или

Т.к. собственный вектор ненулевой, то х₁ и х₂ не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение — нулевое, что невозможно.

 

Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

Таким образом, можно найти собственный вектор (х₁, х₂) линейного преобразования А с собственным значением l, где l - корень характеристического уравнения, а х₁ и х₂ — корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.

 

Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный — тоже собственный с тем же самым собственным значением l.

Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

 

Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l₁ и l₂, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые.

 

Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l₁ = l₂ = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х₁ и х₂. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

 Неопределенный интеграл

Теорема существования. Если функция непрерывна в заданном промежутке , то в этом промежутке она имеет первообразную.

Основные свойства неопределенного интеграла

 

1. . 2. .

3. . 4. .

5. .

6. Если , то .

7. Если , то .

8. Если , то .

 

Методы интегрирования

 

1. Метод замены переменной (способ подстановки)

.

2. Метод интегрирования по частям: .

Таблица неопределенных интегралов

 

1. Интеграл от степенной функции :

; (1) . (2)

. (3)

2. .

3. Интеграл от показательной функции :

.

4. Интегралы от тригонометрических функций:

; ;

; ; ; ;

; .

 

5. Интегралы от гиперболических функций:

; ;

; .

6. Интегралы, содержащие выражение вида :

. (5) . (6)

. (7) . (8)

. (9) . (10)

7. Часто встречающиеся интегралы:

.

.

. (11)

. (12)

. (13)

. (14)

8. Реккурентные соотношения

; . (15)

; .

; .

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой