Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х₁, х₂) = 27.

 

Коэффициенты: а₁₁ = 27, а₁₂ = 5, а₂₂ = 3.

Составим характеристическое уравнение: ;

(27 - l)(3 - l) — 25 = 0

l² - 30l + 56 = 0

l₁ = 2; l₂ = 28;

 

 

Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

17x² + 12xy + 8y² — 20 = 0.

 

Коэффициенты а₁₁ = 17, а₁₂ = 6, а₂₂ = 8. А =

Составим характеристическое уравнение:

(17 - l)(8 - l) - 36 = 0

136 - 8l - 17l + l² — 36 = 0

l² - 25l + 100 = 0

l₁ = 5, l₂ = 20.

Итого: - каноническое уравнение эллипса.

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l₁ = 2, l₂ = 6.

Найдем координаты собственных векторов:

полагая m₁ = 1, получим n₁ =

полагая m₂ = 1, получим n₂ =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид: