Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l₁ = 1, l₂ = 11.

Найдем координаты собственных векторов:

полагая m₁ = 1, получим n₁ =

полагая m₂ = 1, получим n₂ =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

 

 

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

4ху + 3у² + 16 = 0

 

Коэффициенты: a₁₁ = 0; a₁₂ = 2; a₂₂ = 3.

Характеристическое уравнение:

Корни: l₁ = -1, l₂ = 4.

 

Для l₁ = -1 Для l₂ = 4

 

m₁ = 1; n₁ = -0,5; m₂ = 1; n₂ = 2;

 

= (1; -0,5) = (1; 2)

Получаем: -каноническое уравнение гиперболы.