Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность

x_1, х₂, …, х_n = {x_n} 

Общий элемент последовательности является функцией от n.

x_n = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.

Задать последовательность можно различными способами — главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

 

Пример. {x_n} = {(-1)ⁿ} или {x_n} = -1; 1; -1; 1; …

{x_n} = {sinpn/2} или {x_n} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

 

1)      Умножение последовательности на число m: m{x_n} = {mx_n}, т.е. mx₁, mx₂, …

2)      Сложение (вычитание) последовательностей: {x_n} ± {y_n} = {x_n ± y_n}.

3)      Произведение последовательностей: {x_n}×{y_n} = {x_n×y_n}.

4)      Частное последовательностей: при {y_n} ¹ 0.

Упражнение. Решить примеры.

 

 

 

Интегрирование методом замены переменной

 

При использовании формул

необходимо помнить, что все фигурирующие здесь функции должны быть непрерывными.

Успех интегрирования целиком зависит от того, насколько удачно выбрана подстановка . По крайней мере, надо понимать, что после такой подстановки необходимо получить один из табличных интегралов. Например,

Теперь вернемся к старой переменной х. При , , так как , поэтому .

Из подстановки следует, что , поэтому .

В некоторых примерах подстановка не приводит к цели. Тогда в качестве новой переменной t выбирают часть подынтегральной функции, например,

 

.

 

Полагая здесь , по формуле (6) получаем

. .

Возвращаясь к старой переменной х, получим .

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой