Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.
2)Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая.
3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.
4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая
Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.
Пример. {xn} = 1/n — убывающая и ограниченная
{xn} = n — возрастающая и неограниченная.
Пример. Доказать, что последовательность {xn}=
монотонная возрастающая.
Найдем член последовательности {xn+1}= 
Найдем
знак разности: {xn}-{xn+1}= 
, т.к. nÎN, то знаменатель
положительный при любом n.
Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.
Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность
{xn} = 
.
Найдем 
.
Найдем разность 
, т.к. nÎN, то 1 — 4n <0,
т.е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.
Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность
х1 £ х2 £ х3 £ … £ хn £ xn+1 £ …
Эта последовательность ограничена сверху: xn £ M, где М — некоторое число.
Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что xN > a - e, где а — некоторая верхняя грань множества.
Т.к. {xn}- неубывающая последовательность, то при N > n а - e < xN £ xn,
xn > a - e.
Отсюда a - e < xn < a + e
-e < xn – a < e или ôxn - aô< e, т.е. lim xn = a.
Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.
