Первый замечательный предел. , где P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+a_n,

Q(x) = b₀x^m + b₁x_m-1 +…+b_m - многочлены.

Итого:

 

Второй замечательный предел.

 

Третий замечательный предел.

 

Часто если непосредственное нахождение предела какой — либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

 

 

 

Пример. Найти предел.

 

Пример. Найти предел.

 

Пример. Найти предел.

 

 

Пример. Найти предел.

 

Пример. Найти интеграл .

Решение.

.

Пример. Решите самостоятельно .

3. Если m и n — целые отрицательные числа одинаковой четности, то к цели

приводит метод отщепления.

Пример. .

Решение. .

4. В некоторых случаях эффективно использование тождества

или даже .

Пример. Найти интеграл .

Решение.

,

,

.

Интегралы вида , , где m — целое положительное число, находятся с помощью тождеств , .

Пример.

 

Приложения дифференциального исчисления. §1. Вычисления пределов по правилу Лопиталя. §2. Экстремум функции. Схема исследования функции на экстремум. Второе достаточное условие экстремума (теорема). Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке. §3. Характер выпуклости графика функции, точки перегиба. Необходимое условие перегиба

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой