Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе:

 

Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

Пример непрерывной функции:

y

 

f(x₀)+e

f(x₀)

f(x₀)-e

 

0 x₀-D x₀ x₀+D x 

Пример разрывной функции:

 

y

 

f(x₀)+e

f(x₀)

f(x₀)-e

x₀ x

 

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство .

 

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

 

f(x) = f(x₀) + a(x)

где a(х) — бесконечно малая при х®х₀.

 Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций — есть функция, непрерывная в точке х₀.

 

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.

3) Суперпозиция непрерывных функций — есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x), v = g(x) — непрерывные функции в точке х = х₀, то функция v = g(f(x)) — тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

 

Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.

 

Приложения дифференциального исчисления. §1. Вычисления пределов по правилу Лопиталя. §2. Экстремум функции. Схема исследования функции на экстремум. Второе достаточное условие экстремума (теорема). Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке. §3. Характер выпуклости графика функции, точки перегиба. Необходимое условие перегиба

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой