1) Функция f(x) = C, C = const — непрерывная функция на всей области определения.
2) Рациональная функция 
непрерывна для всех значений х, кроме тех, при
которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна
на всей области определения.
3) Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения.
Докажем свойство 3 для функции y = sinx.
Запишем приращение функции Dy = sin(x + Dx) — sinx, или после преобразования:
Действительно,
имеется предел произведения двух функций 
и 
. При этом функция косинус — ограниченная
функция при Dх®0 
, а т.к.
предел
функции синус 
, то она является бесконечно малой при Dх®0.
Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция Dу — бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у = sinx — непрерывная функция для любого значения х = х0 из области определения, т.к. ее приращение в этой точке — бесконечно малая величина.
Аналогично можно доказать непрерывность остальных тригонометрических функций на всей области определения.
Вообще следует заметить, что все основные элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.
Занятие № 5. Интегрирование иррациональных функций
Цель занятия - научиться брать интегралы видов:
,
,
,
,
,
.
Здесь предполагается, что подынтегральная функция f рациональна относительно всех своих аргументов. Эти интегралы находятся по одной схеме: необходимо выбрать подстановку таким образом, чтобы все радикалы исчезли, т. е. чтобы после замены переменной были получены интегралы от рациональных функций относительно новой переменной t .
В
первом случае к цели приводит подстановка 
, где 
.
Пример. 
.
Решение. Здесь 
, поэтому 
. После замены получим
.
Это интеграл от неправильной рациональной дроби. Разделив числитель на знаме-натель, получим
.
Так
как 
, получим 
.
.
Так как 
, 
, находим
,
.
Интеграл 
берется аналогично: 
. Тогда 
.
