Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.
в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 — го рода
 |
Задание 4.
4 (а).
Решение:
Получим
знакочередующийся ряд. Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда 
выполнены условия:
1) 
2)
,
то знакочередующийся ряд сходится.
Для остатка ряда 
в этом случае справедлива оценка 
В данном ряде:
1) 
2)
, значит данный ряд сходится.
Исследуем теперь сходимость соответствующего знакоположительного ряда:
По признаку Даламбера вычислим
.
Значит, ряд знакоположительный сходится.
Следовательно, данный ряд абсолютно сходящийся.
Ответ: сходится абсолютно.
4 (б). 
Решение:
I способ:
Определяем радиус сходимости степенного ряда по формуле:
;
; 
.
Найдем интервал сходимости степенного ряда
,
Интервал сходимости — (-1; 7)
В данной задаче не требуется исследования на границах интервала. При определении области сходимости, граничные точки интервала исследуют отдельно, подставляя их значения в данный степенной ряд, при этом полученный числовой ряд исследуют по признаку сходимости числового ряда.
Ответ: ,
(-1; 7).
II способ:
По этому способу сначала найдем интервал
сходимости степенного ряда, а затем радиус сходимости его. Для этого применяем
признак Даламбера: 
,
Решим
неравенство 
, 
, 
, 
(-1; 7) — интервал сходимости.
;
.
Ответ: ,
(-1; 7).
