Рассмотрим показательную функцию

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

Данное равенство называется уравнением Эйлера.

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

1)

2)

3) где m — целое число.

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

Для комплексно — сопряженного числа получаем:

Из этих двух уравнений получаем:

Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

Интегралы, содержащие квадратный трехчлен

, .

Интеграл путем выделения из трехчлена полного квадрата приводится к одному из табличных интегралов (5) - (7). Пусть, например, надо найти интеграл . Так как ,

найдем

Замечание. Здесь использовалась известная формула .

Если в знаменателе стоит неприведенный трехчлен, то старый коэффициент рекомендуется вынести за знак интеграла, например:

В интеграле производная знаменателя равна - многочлен первой степени, как и числитель . Поэтому числитель представляем в форме , причем числа М и N находим из условий, что . Тогда . Первый из этих интегралов — табличный , где . Второй интеграл — только что найденный интеграл .

Пример. .

Решение. Так как , полагаем , откуда

, так как ,

,

.

Интеграл после выделения из квадратного трехчлена полного квадрата приводится к одному из табличных интегралов (7), (9), (10) . Так как , . Интеграл находится подобно интегралу . Выделив из трехчлена полный квадрат, получим

. Первый из них — это табличный интеграл (3) а второй — только что найденный интеграл .

. Так как , получим , откуда .

, так как

.

(формула (10)).

Замечание. Нахождение чисел М и N основано на известном свойстве многочленов: два многочлена степени «u» тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях «х» и равны их свободные члены. Поэтому из условия следует, что , откуда т. е. . Впрочем в интегралах и выделение из числителя дифференциала трехчлена можно провести прямым путем. Пусть, например, надо найти интеграл . Здесь .

Поэтому

.

Приложения дифференциального исчисления. §1. Вычисления пределов по правилу Лопиталя. §2. Экстремум функции. Схема исследования функции на экстремум. Второе достаточное условие экстремума (теорема). Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке. §3. Характер выпуклости графика функции, точки перегиба. Необходимое условие перегиба

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой